Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 7ª Edição - James Stewart- Ed: 7º - Capítulo 16.4 - Ex. 8
Use o Teorema de Green para calcular a integral de linha ao longo da curva dada com orientação positiva.
é a fronteira da região entre os círculos e
Passo 1
Oiii, gente! Tudo certo?
A questão pede a integral de linha:
é a fronteira da região entre os círculos e , utilizando o Teorema de Green.
O Teorema de Green nos traz que
Onde é nossa função integrada em e é nossa função integrada em .
Aqui nesse caso, temos:
E:
Veja na equação do nosso teorema que precisamos calcular as derivadas parciais:
Depois das derivadas calculadas é só calcularmos nossa integral dupla, estabelecendo os limites de integração. Mas veja que aqui nossa linha é circular, então fica mais fácil expressá-la em coordenadas polares, usando as equações:
Vamos passo a passo!
Passo 2
Vamos começar pelas derivadas parciais:
. Derivando em relação a e tratando como constante:
. Derivando em relação a e tratando como constante:
Substituindo na equação do Teorema de Green:
Então, temos:
Passo 3
Temos que a região é fechada e delimitada pelos dois círculos, e .
Usando a equação:
Então temos que os raios dos círculos são:
E:
Então a variação da variável será:
E será de uma volta completa, logo
Pronto, agora temos nossos limites de integração!
Como estamos lidando com coordenadas polares, vamos reescrever nossa equação nesse sistema:
Usando as equações:
Ficamos com:
E sabendo que:
Então, temos:
Passo 4
Agora basta calcularmos nossa integral dupla, separando a integral do produto em um produto de integrais, cada qual com sua respectiva variável de integração:
Resolvendo cada integral, temos:
Aplicando os limites de integração:
Então: