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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 7ª Edição - James Stewart- Ed: 7º - Capítulo 16.4 - Ex. 8

Use o Teorema de Green para calcular a integral de linha ao longo da curva dada com orientação positiva.

∫ C x e - 2 x d x + x 4 + 2 x 2 y 2 d y

C é a fronteira da região entre os círculos x 2 + y 2 = 1 e x 2 + y 2 = 4

Passo 1

Oiii, gente! Tudo certo?

A questão pede a integral de linha:

∫ C x e - 2 x d x + x 4 + 2 x 2 y 2 d y

C é a fronteira da região entre os círculos x 2 + y 2 = 1 e x 2 + y 2 = 4 , utilizando o Teorema de Green.

O Teorema de Green nos traz que

∫ C P   d x + Q   d y = ∬ ∂ Q ∂ x - ∂ P ∂ y d A

Onde P é nossa função integrada em d x e Q é nossa função integrada em d y .

Aqui nesse caso, temos:

P x , y = x e - 2 x

E:

Q x , y = x 4 + 2 x 2 y 2

Veja na equação do nosso teorema que precisamos calcular as derivadas parciais:

∂ Q ∂ x   e   ∂ P ∂ y

Depois das derivadas calculadas é só calcularmos nossa integral dupla, estabelecendo os limites de integração. Mas veja que aqui nossa linha C é circular, então fica mais fácil expressá-la em coordenadas polares, usando as equações:

x = r cos ⁡ θ

y = r sen ⁡ θ

x 2 + y 2 = r 2

d A = r   d r   d θ

Vamos passo a passo!

Passo 2

Vamos começar pelas derivadas parciais:

Q x , y = x 4 + 2 x 2 y 2 . Derivando em relação a x e tratando y como constante:

∂ Q ∂ x = ∂ ∂ x x 4 + 2 x 2 y 2 = 4 x 3 + 4 x y 2

P x , y = x e - 2 x . Derivando em relação a y e tratando x como constante:

∂ P ∂ y = ∂ ∂ y x e - 2 x = 0

Substituindo na equação do Teorema de Green:

∬ ∂ Q ∂ x - ∂ P ∂ y d A = ∬ 4 x 3 + 4 x y 2 - 0 d A

Então, temos:

∬ 4 x 3 + 4 x y 2 d A

Passo 3

Temos que a região D é fechada e delimitada pelos dois círculos, x 2 + y 2 = 4 e x 2 + y 2 = 9 .

Usando a equação:

x 2 + y 2 = r 2

Então temos que os raios dos círculos são:

r = 2

E:

r = 3

Então a variação da variável r será:

2 ≤ r ≤ 3

E θ será de uma volta completa, logo

0 ≤ θ ≤ 2 π

Pronto, agora temos nossos limites de integração!

Como estamos lidando com coordenadas polares, vamos reescrever nossa equação nesse sistema:

4 x 3 + 4 x y 2 = 4 x ( x 2 + y 2 )

Usando as equações:

x = r cos ⁡ θ

x 2 + y 2 = r 2

Ficamos com:

4 x x 2 + y 2 = 4   r cos ⁡ θ   r 2

E sabendo que:

d A = r   d r   d θ

Então, temos:

4 ∫ 0 2 π ∫ 1 2 r cos ⁡ θ r 2   r   d r d θ

Passo 4

4 ∫ 0 2 π ∫ 1 2 r cos ⁡ θ r 2   r   d r d θ

Agora basta calcularmos nossa integral dupla, separando a integral do produto em um produto de integrais, cada qual com sua respectiva variável de integração:

= 4 ∫ 1 2 r 4 d r ∫ 0 2 π cos ⁡ θ d θ

Resolvendo cada integral, temos:

= 4 r 5 5 1 2 sen ⁡ θ 0 2 π

Aplicando os limites de integração:

= 4 32 - 1 5 0 = 0

Então:

∫ C x e - 2 x d x + x 4 + 2 x 2 y 2 d y = 0

Resposta

∫ C x e - 2 x d x + x 4 + 2 x 2 y 2 d y = 0

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