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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 16.4 - Ex. 4b

Calcule a integral de linha por dois métodos: (a) diretamente e (b) utilizando o Teorema de Green.

∮ C . x 2 y 2 d x + x y d y

C consiste num arco de parábola y = x 2 indo de ( 0,0 ) para ( 1,1 ) e o segmento de reta de ( 1,1 ) para ( 0,1 ) e de ( 0,1 ) para ( 0,0 ) .

Passo 1

E aí, pessoal! Tranquilo?

A questão pede a integral de linha:

∮ C . x 2 y 2 d x + x y d y

Onde C consiste num arco de parábola y = x 2 indo de ( 0,0 ) para ( 1,1 ) e o segmento de reta de ( 1,1 ) para ( 0,1 ) e de ( 0,1 ) para ( 0,0 ) , utilizando o Teorema de Green.

O Teorema de Green nos traz que

∫ C P   d x + Q   d y = ∬ ∂ Q ∂ x - ∂ P ∂ y d A

Onde P é nossa função integrada em d x e Q é nossa função integrada em d y .

Aqui nesse caso, temos:

P x , y = x 2 y 2

E:

Q x , y = x y

Veja na equação do nosso teorema que precisamos calcular as derivadas parciais:

∂ Q ∂ x   e   ∂ P ∂ y

Depois das derivadas calculadas é só calcularmos nossa integral dupla, estabelecendo os limites de integração para x e y e fazendo:

d A = d x   d y

Bora resolver nossa questão!

Passo 2

Vamos começar pelas derivadas parciais:

  • Q x , y = x y . Derivando em relação a x e tratando y como constante:

    • ∂ Q ∂ x = ∂ ∂ x x y = y

  • P x , y = x 2 y 2 . Derivando em relação a y e tratando x como constante:

∂ P ∂ y = ∂ ∂ y x 2 y 2 = 2 x 2 y

Substituindo na equação do Teorema de Green:

∬ ∂ Q ∂ x - ∂ P ∂ y d A = ∬ y - 2 x 2 y d A

Passo 3

Agora vamos achar os limites de integração da nossa integral dupla. A curva C é exibida abaixo:

y = x 2

arco de parábola y = x 2 indo de ( 0,0 ) para ( 1,1 ) e o segmento de reta de ( 1,1 ) para ( 0,1 ) e de ( 0,1 ) para ( 0,0 ) .

Podemos expressar essa região como uma região do tipo I, onde x está entre duas constantes e y entre duas funções. Olhando o gráfico vemos que:

0 ≤ x ≤ 1

Vemos que y está limitado abaixo por y = x 2 e acima por y = 1

x 2 ≤ y ≤ 1

Pronto, agora temos nossos limites de integração!

Passo 4

∬ y - 2 x 2 y d A

Temos que:

d A = d y   d x

Como y tem funções nos limites de integração, devemos colocar sua integral “pra dentro” da integral dupla. Então ficamos com:

∫ 0 1 ∫ x 2 1 ( y - 2 x 2 y ) d y d x

Usando o Teorema de Green, podemos escrever:

∮ C . x 2 y 2 d x + x y d y = ∫ 0 1 ∫ x 2 1 ( y - 2 x 2 y ) d y d x

Bora calcular nossa integral! Integrando primeiro em y , tomando x como constante:

∮ C . x 2 y 2 d x + x y d y = ∫ 0 1 y 2 2 - 2 x 2 y 2 2 x 2 1 d x

Aplicando os limites de integração em y :

∮ C . x 2 y 2 d x + x y d y = ∫ 0 1 x 6 - 1 2 x 4 - x 2 + 1 2 d x

Agora finalmente integramos em x :

∮ C . x 2 y 2 d x + x y d y = 1 7 x 7 - 1 10 x 5 - 1 3 x 3 + 1 2 x 0 1

Aplicando os limites de integração, ficamos com:

∮ C . x 2 y 2 d x + x y d y = 1 7 - 1 10 - 1 3 + 1 2 = 22 105

Resposta

A integral de linha é igual a:

∮ C . x 2 y 2 d x + x y d y = 2 3

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Calcule a integral de linha por dois métodos: a) diretamente e b) utilizando o Teorema de Green. ∮ C x y 2 d x + x 3 d y C é o retângulo com vértices 0,0 , 2,0 , 2,3 e 0,3 .
15. Dado o campo vetorial f → = y x 2 + y 2 , x x 2 + y 2 , mostrar que ∮ C f → ⋅ d r → = 0 para toda curva fechada simples C, suave por partes, que circunda a origem.
12. Calcular a área da elipse x = 6 c o s theta , y = 2 s e n theta .
8. oint_C vec f * d vec r , onde vec f = ( x^2 + 4 x y , 2 x^2 + 2 x + y^2 ) e C é a elipse x^2 + 4 y^2 = 16 , no sentido anti-horário
Nos exercícios 1 a 11, calcular as integrais curvilíneas dadas usand o teorema de Green.4. ∮ C - 2 x 2 y d x + 8 - ln ⁡ y + 2 d y , ao longo do paralelogramo de vértices (0,0), (2,0), (3,2) e (0,2), n