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Enunciado

Cálculo - Diva Flemming - Cálculo B - Ed: 2º - Capítulo 9.8 - Ex. 4

Nos exercícios 1 a 11, calcular as integrais curvilíneas dadas usand o teorema de Green.

4. ∮ C - 2 x 2 y d x + 8 - ln ⁡ y + 2 d y , ao longo do paralelogramo de vértices (0,0), (2,0), (3,2) e (0,2), no sentido anti-horário.

Passo 1

A região R é dada por

y 2 ≤ x ≤ y 2 + 2

0 ≤ y ≤ 2

Usando o teorema de Green, temos

∮ C - 2 x 2 y d x + 8 - ln ⁡ y + 2 d y = ∬ R 0 + 2 x 2 d x d y  

= ∫ 0 2 ∫ y 2 y 2 + 2 2 x 2 d x d y = ∫ 0 2 ( 2 3 y 2 + 2 3 - 2 3 y 2 3 ) d y

= ∫ 0 2 2 3 y 2 + 2 3 - y 2 3 d y = ∫ 0 2 2 3 y 2 + 2 - y 2 y 2 + 2 2 + y 2 + 2 y 2 + y 2 2 d y

= ∫ 0 2 2 3 2 y 2 4 + 2 y + 4 + y 2 4 + y + y 2 4 d y = ∫ 0 2 2 3 2 3 y 2 4 + 3 y + 4 + d y

= ∫ 0 2 y 2 + 4 y + 16 / 3 d y

= y 3 3 + 2 y 2 + 16 3 y 0 2

= 8 3 + 8 + 32 3 = 64 3

Como está no sentido horário, colocamos o sinal de menos na frente

- 64 3

Resposta

- 64 3

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