Nos exercícios 1 a 11, calcular as integrais curvilíneas dadas usand o teorema de Green.
4. ao longo do paralelogramo de vértices , , e , no sentido anti-horário.
Passo 1
Olá, vamos resolver a integral de linha:
Primeiro deveremos verificar se o campo vetorial dado:
Calculando as derivadas e testando se
Temos que:
E:
Então o campo não é conservativo. Pois essas derivadas parciais são diferentes.
Passo 2
O Teorema de Green transforma a integral de linha ao longo de uma curva fechada em uma integral dupla sobre a região delimitada por :
Usando as derivadas parciais que encontramos:
Passo 3
A região é o paralelogramo com vértices:
Este paralelogramo pode ser parametrizado como:
Ou mais diretamente:
Onde:
- base inferior
- base superior
Assim:
Passo 4
Vamos usar uma mudança de variáveis direta e observar que a região tem área de unidades (é um paralelogramo de base e altura ).
Vamos calcular:
A parametrização será:
Com:
O jacobiano dessa transformação é:
Então:
Então:
Expandindo:
Multiplicando pelo fator externo: