Nos exercícios 1 a 11, calcular as integrais curvilíneas dadas usand o teorema de Green.

4. ∮_C [-2x^2y dx + raiz(8 - ln(y + 2)) dy], ao longo do paralelogramo de vértices (0,0) , (2,0) , (3,2) e (1,2) , no sentido anti-horário.

Passo 1

Olá, vamos resolver a integral de linha:

∮ C - 2 x 2 y d x + 8 - ln ⁡ y + 2 d y

Primeiro deveremos verificar se o campo vetorial dado:

F → x , y = - 2 x 2 y ,   8 - ln ⁡ y + 2

Calculando as derivadas e testando se P y = Q x

Temos que:

P x , y = - 2 x 2 y

P y = - 2 x 2

E:

Q x , y = 8 - ln ⁡ y + 2

Q x = 0

Então o campo não é conservativo. Pois essas derivadas parciais são diferentes.

Passo 2

O Teorema de Green transforma a integral de linha ao longo de uma curva fechada C em uma integral dupla sobre a região D delimitada por C :

∫ C P d x + Q d y = ∫ ∫ D ∂ Q ∂ x - ∂ P ∂ y d A

Usando as derivadas parciais que encontramos:

∂ Q ∂ x - ∂ P ∂ y = 2 x 2

Passo 3

A região D é o paralelogramo com vértices:

  • A = 0,0
  • B = 2,0
  • C = 3,2
  • D = 1,2

Este paralelogramo pode ser parametrizado como:

x , y = 1 - v 1 - u 0,0 + u 1 - v 2,0 + u v 3,2 + 1 - u v 1,2

Ou mais diretamente:

x , y = 1 - v a u + v b u

Onde:

  • a u = 1 - u 0,0 + u 2,0 = 2 u , 0 base inferior
  • b u = 1 - u 1,2 + u 3,2 = 1 + 2 u , 2 base superior

Assim:

x u , v = 2 u 1 - v + v 1 + 2 u

y u , v = 1 - v 0 + u 2 = 2 v

Passo 4

Vamos usar uma mudança de variáveis direta e observar que a região D tem área de 4 unidades (é um paralelogramo de base 2 e altura 2 ).

Vamos calcular:

∫ ∫ D 2 x 2 d A

A parametrização será:

r → u , v = u 2,0 + v 1,2 = 2 u + v , 2 v

Com:

u ∈ 0,1 ,   v ∈ 0,1

O jacobiano dessa transformação é:

J = 4

Então:

x = 2 u + v

x 2 = 2 u + v 2

Então:

8 ∫ 0 1 ∫ 0 1 2 u + v 2 d u d v

Expandindo:

∫ 0 1 ∫ 0 1 4 u 2 + 4 u v + v 2 d u d v

∫ 0 1 4 3 + 2 v + v 2 d v

= 4 3 v + v 2 + v 3 3 0 1

= 4 3 + 1 + 1 3

= 10 3

Multiplicando pelo fator externo:

80 3

Resposta

- 64 3

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