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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 5ª Edição - James Stewart- Ed: 5º - Capítulo 11.4 - Ex. 20

Determine se a série converge ou diverge.

20-

sum_(n = 1)^(oo) (1 + 2^n)/(1 + 3^n)

Passo 1

A série que vamos comparar é com:

sum_(n = 1)^(oo) (2^n)/(3^n)

Que sabemos que converge justamente pois é uma série geométrica de razão igual a 2 // 3 mas olha bem o que foi dado no enunciado pois:

1 + 2^n > 2^n

E

1 + 3^n > 3^n

Então precisamos fazer o teste de comparação do limite, por eles serem muito parecidos podemos dizer que se o limite de n tendendo a infinito de uma função sobre a outra for maior que zero, logo as duas funções convergirão.

Passo 2

Chamando:

a_n = (1 + 2^n)/(1 + 3^n)

b_n = (2^n)/(3^n)

Fazendo então:

underset(n -> oo)(lim) (1 + 2^n)/(1 + 3^n) xx (3^n)/(2^n)

underset(n -> oo)(lim) (3^n + 2^n 3^n)/(2^n + 2^n 3^n)

Dividindo numerador e denominador por 3^n temos:

underset(n -> oo)(lim) (1 + 2^n)/(((2)/(3))^n + 2^n)

Agora dividindo em cima e embaixo por 2^n temos:

underset(n -> oo)(lim) ((1)/(2^n) + 1)/(((1)/(3))^n + 1)

Agora aplicando o limite temos:

underset(n -> oo)(lim) ((1)/(2^n) + 1)/(((1)/(3))^n + 1) = 1

Que é igual a 1 , e que é um número maior que zero, logo as duas séries são convergentes.

Essa foi diferentinha, nem sempre dá para só comparar e ponto. Isso só da quando ou o numerador ou só o numerador são maiores ou menores com a função que queremos comparar.

Vamos para mais outra!

Resposta

Série convergente.

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