Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 7ª Edição - James Stewart- Ed: 7º - Capítulo 16.4 - Ex. 2
Calcule a integral de linha por dois métodos: (a) diretamente e (b) utilizando o Teorema de Green.
é o retângulo com vértices
Passo 1
E aí, pessoal! Tudo tranquilo?
Nossa questão pede a integral de linha
Em que é o retângulo com vértices
A parte a) quer o método direto. Nele vamos ter que dividir em quatro partes de forma que
Onde
E resolver cada integral de linha separadamente, usando a parametrização adequada para cada um dos 4 segmentos.
Já para a parte b) vamos usar o Teorema de Green:
Onde é nossa função integrada em e é nossa função integrada em . Então vamos calculas as derivadas parciais dessas funções, substituir na equação do Teorema de Green e resolver nossa integral dupla resultante da forma que já sabemos.
Vamos para a resolução!
Passo 2
- Como é um retângulo, vamos ter que dividir em quatro partes de forma que , onde cada parte é uma reta que liga um ponto ao outro, de forma que
- Pelo Teorema de Green temos que
Onde
Colocando os quatro pontos no plano para ficar claro de quais retas precisamos
Para que a orientação seja positiva, precisamos da reta de a . Precisamos inicialmente definir qual será a função . A parametrização da reta é calculada por:
Os pontos da nossa reta são:
e
Então:
Subtraindo os pontos:
Somando finalmente, temos:
Então nossa parametrização é:
Derivando esse vetor dos parâmetros, temos:
E a integral é
Fazendo o produto escalar, chegamos em zero dentro da integral!
Passo 3
Outra reta sai de e vai até . Repetindo o mesmo processo de parametrização do passo anterior:
Derivando essas equações paramétricas:
E a integral é
Fazendo o produto escalar:
Da mesma forma precisamos da reta que sai de e vai até , que pode ter parametrização
Derivando:
Substituímos na integral e ficamos com:
Calculando o produto escalar:
Agora é só aplicarmos os limites de integração:
Por fim temos a reta que vai de até a origem, fechando a curva
Derivando:
Substituindo na nossa integral:
Então temos que:
Passo 4
Calculando as derivadas parciais, temos:
Como é um retângulo, temos:
Integrando e aplicando os limites de integração:
Então:
Pronto! Veja que chegamos no mesmo resultado que achamos com o método anterior;