Enunciado

Calcule a integral de linha, onde C é a curva dada.

∫ C x y   d x + x - y   d y

C consiste nos segmentos de reta de 0 ,   0 a 2 ,   0 e de 2 ,   0 a ( 3 ,   2 ) .

Passo 1

Faala, galera!

Nessa questão temos que calcular uma integral de linha sobre uma curva que ela descreveu.

∫ C x y   d x + x - y   d y

C consiste nos segmentos de reta de 0 ,   0 a 2 ,   0 e de 2 ,   0 a ( 3 ,   2 ) .

Percebe que como o diferencial dentro da integral de linha é d x e d y , nós estamos no caso vetorial! Ou seja, é a integral sobre um campo vetorial, que podemos escrever assim:

∫ C F → ∙ d r →

Onde

F → = x y , x - y

Bom, nesse caso, pra calcularmos a integral, temos que fazer:

∫ C F ��� ∙ d r → = ∫ a b F → r → t ∙ r → ' t   d t

Onde r → t , com a ≤ t ≤ b é uma parametrização da curva C .

Mas como a nossa curva C é dividida em dois segmentos, vamos tratar eles separados:

∫ C F → ∙ d r → = ∫ C 1 F → ∙ d r → + ∫ C 2 F → ∙ d r →

Então nosso primeiro passo vai ser desenhar essas curvas, pra conseguirmos parametrizar, depois vamos calcular as r → ' , e então aplicarmos a fórmula da integral de linha pra cada uma delas!

Passo 2

As curvas C 1 e C 2 são dois segmentos de reta, que ligam os pontos 0 ,   0 a 2 ,   0 , e 2 ,   0 a ( 3 ,   2 ) . Então, desenhando isso temos:

Vamos parametrizar cada pedaço da curva separadamente.

No segmento de reta C 1 , nós vemos que o x varia, mas o y permanece igual a zero. Então vamos definir o x como o próprio parâmetro e y constante igual a 0 :

C 1 : x = t y = 0

Como x vai de 0 até 2 :

0 ≤ t ≤ 2

Já a reta C 2 , observamos que tanto x quanto y variam. Então vamos colocar y em função de x , por ser uma reta, essa função é da seguinte forma:

y = a x + b

Quando:

x = 2   → y = 0

x = 3   → y = 2

Substituindo esses valores na nossa equação, vamos obter o seguinte sistema:

2 = 3 a + b 0 = 2 a + b

Subtraindo a primeira equação da segunda, temos que:

a = 2

Pela segunda equação, podemos substituir o valor de a e encontrar o valor de b :

0 = 2 a + b

b =   - 2 a

b =   - 4

Logo:

y = 2 x - 4

Vamos definir x como nosso parâmetro e y por essa expressão: C 2 : x = t y = 2 t - 4

Como x vai de 2 até 3 :

2 ≤ t ≤ 3

Passo 3

Agora, calculamos as derivadas das parametrizações:

Para C 1 :

r 1 → t = t , 0

Para achar r → ' , derivamos as duas componentes em função de t :

r 1 → ' t = d d t t , d d t 0

r 1 → ' t = 1,0

E para C 2 :

r 2 → t = t , 2 t - 4

Para achar r → ' :

r 2 → ' t = d d t t , d d t 2 t - 4

r 2 → ' t = 1,2

Passo 4

Finalmente, vamos aplicar as integrais de linha.

Lembrando que F → x , y = x y , x - y

Primeiro, para C 1 , temos:

r 1 → t = t , 0

r 1 → ' t = 1,0

0 ≤ t ≤ 2

Então:

∫ C 1 F → ∙ d r → = ∫ 0 2 F → t , 0 ∙ 1,0 d t =

= ∫ 0 2 t ∙ 0 , t - 0 ∙ 1,0 d t =

Calculando:

= ∫ 0 2 0 , t ∙ 1,0 d t =

Pra fazer esse produto escalar, multiplicamos cada uma das coordenadas correspondentes:

= ∫ 0 2 0 ∙ 1 + t ∙ 0 d t =

= ∫ 0 2 0 d t =

Então:

∫ C 1 F → ∙ d r → = 0

Passo 5

Agora para C 2 :

r 2 → t = t , 2 t - 4

r 2 → ' t = 1,2

2 ≤ t ≤ 3

Então:

∫ C 2 F → ∙ d r → = ∫ 2 3 F → t , 2 t - 4 ∙ 1,2 d t =

= ∫ 2 3 t ∙ 2 t - 4 , t - 2 t - 4 ∙ 1,2 d t =

Fazendo as contas:

= ∫ 2 3 2 t 2 - 4 t , - t + 4 ∙ 1,2 d t =

Multiplicando coordenada a coordenada:

= ∫ 2 3 2 t 2 - 4 t - 2 t + 8 d t =

= ∫ 2 3 2 t 2 - 6 t + 8 d t =

Resolvendo a integral:

= 2 t 3 3 - 6 t 2 2 + 8 t 2 3 =

= 2 ∙ 3 3 3 - 6 ∙ 3 2 2 + 8 ∙ 3 - 2 ∙ 2 3 3 - 6 ∙ 2 2 2 + 8 ∙ 2 =

Calculando:

= 18 - 27 + 24 - 16 3 - 12 + 16 =

= 15 - 16 3 - 4 = 17 3

Então a integral fica:

∫ C 2 F → ∙ d r → = 17 3

Passo 6

A nossa integral é a soma dessas duas que calculamos, então:

∫ C F → ∙ d r → = ∫ C 1 F → ∙ d r → + ∫ C 2 F → ∙ d r →

= 0 + 17 3

Então:

∫ C F → ∙ d r → = 17 3

Resposta

17 3

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