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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 5ª Edição - James Stewart- Ed: 5º - Capítulo 16.2 - Ex. 16

Calcule a integral de linha, onde C é a curva dada.

∫ C x 2 d x + y 2   d y + z 2   d z   ,

C consiste nos segmentos de reta de 0 ,   0 ,   0 a 1 ,   2 ,   - 1 e de 1 ,   2 ,   - 1 a ( 3 ,   2 ,   0 ) .

Passo 1

Faaaaala turma, tudo bem? Bora lá!

Bom, temos que calcular a seguinte integral de linha:

∫ C x 2 d x + y 2   d y + z 2   d z  

Onde, C consiste nos segmentos de reta de 0 ,   0 ,   0 a 1 ,   2 ,   - 1 e de 1 ,   2 ,   - 1 a ( 3 ,   2 ,   0 ) .

Vish, não sei como começar? Vamos pensar juntos!

Observe que temos dois segmentos de reta, certo?

Um deles é a reta que une os pontos:

0 ,   0 ,   0 a 1 ,   2 ,   - 1

E o outro é a reta que une:

1 ,   2 ,   - 1 a ( 3 ,   2 ,   0 )

Agora, nossa missão é parametrizar essas retas em função de t . Chamamos de t para você ir se habituando, pois os livros utilizando muito essa letra em parametrizações.

Vamos lembrar como é uma parametrização de reta entre dois pontos de forma genérica. Dado um ponto A e um ponto B :

A = x 1 , y 1 , z 1   e   B = ( x 2 , y 2 , z 2 )

Primeiro achamos o vetor no sentido da reta. Supondo que estamos indo do ponto A até o ponto B . Vamos ter:

A B → = B - A

A B → = x 2 , y 2 , z 2 - x 1 , y 1 , z 1 = ( a , b , c )

O resultado desse vetor, ou seja, os termos a , b e c serão os coeficientes angulares da nossa reta parametrizada. Ficando assim, a reta parametrizada:

x = x 1 + a t

y = y 1 + b t

z = z 1 + c t

0 ≤ t ≤ 1

Feito isso você deve montar sua integral de linha, ou seja, substituir as parametrizações na integral. Mas repare que temos duas retas, certo? Logo teremos duas integrais, uma para cada reta:

∫ C 1 x 2 d x + y 2   d y + z 2   d z + ∫ C 2 x 2 d x + y 2   d y + z 2   d z

Por fim, antes de você começar!! Os valores de d x , d y e d z você encontra derivando as parametrizações em relação a d t . Fazendo desse jeito:

d x d t ;   d y d t ;   d z d t

Ai é só isolar a variável d x , d y e d z em cada caso e substituir na integral.

Vamos nessa começar!!!

Passo 2

Então, vamos começar parametrizando os segmentos de reta.

Começando pelo segmento de reta: 0 ,   0 ,   0 a 1 ,   2 ,   - 1 , e vamos chamá-lo de C 1 .

Aplicando a fórmula que mencionamos antes:

A B → = B - A

A B → = x 2 , y 2 , z 2 - x 1 , y 1 , z 1 = ( a , b , c )

Onde,

A = 0 ,   0 ,   0 a B = 1 ,   2 ,   - 1

Assim temos que:

A B → = 1 ,   2 ,   - 1 = ( a , b , c )

Agora vamos achar a parametrização:

x = x 1 + a t

y = y 1 + b t

z = z 1 + c t

Substituindo temos:

x = t

y = 2 t

z = - t

Onde,

0 ≤ t ≤ 1

Passo 3

Agora, iniciamos a parametrização do outro segmento de reta.

O segmento que une os pontos de: 1 ,   2 ,   - 1 a ( 3 ,   2 ,   0 ) , e vamos chamá-lo de C 2 .

A ideia é a mesma que aplicamos para o segmento de reta anterior.

Aplicando a seguinte fórmula:

A B → = B - A

A B → = x 2 , y 2 , z 2 - x 1 , y 1 , z 1 = ( a , b , c )

Onde,

A = 1 ,   2 ,   - 1 a B = ( 3 ,   2 ,   0 ) ,

Assim temos que:

A B → = 2,0 , 1 = ( a , b , c )

Agora vamos achar a parametrização:

x = x 1 + a t

y = y 1 + b t

z = z 1 + c t

Substituindo temos:

x = 1 + 2 t

y = 2

z = - 1 + t

Onde,

0 ≤ t ≤ 1

Passo 4

Já temos as parametrizações dos dois segmentos de reta:

C 1 :

x = t y = 2 t z = - t

0 ≤ t ≤ 1

C 2 :

x = 1 + 2 t y = 2 z = - 1 + t

0 ≤ t ≤ 1

Agora podemos montar nossa integral:

∫ C 1 x 2 d x + y 2   d y + z 2   d z + ∫ C 2 x 2 d x + y 2   d y + z 2   d z

Mas antes, repare que vamos precisar achar d x , d y e d z em cada curva. Para isso, é só aplicar as derivadas da parametrização em relação a t e isolar d x , d y e d z .

d x d t ;   d y d t ;   d z d t

Vamos fazer isso. Para a curva C 1 temos:

d x = 1   d t d y = 2   d t d z = - 1   d t

Para a curva C 2 temos:

d x = 2   d t d y = 0   d t d z = 1   d t

Turminha, beleza até aqui!? Agora é só substituir na integral e resolver.

Passo 5

Como vai ficar muito grande essa integral, vamos separar as duas integrais e no final fizemos a soma delas, beleza!?

Fazendo isso vamos ter:

Para C 1 :

= ∫ 0 1 t 2 d t + 2 t 2   2   d t + - t 2   - d t

Para C 2 :

= ∫ 0 1 1 + 2 t 2   2   d t + 2 2 ( 0   d t ) + - 1 + t 2   d t

Vamos simplificar o máximo possível somando os termos. Vamos ficar com:

Para C 1 :

= ∫ 0 1 ( t 2 + 8 t 2 - t 2 )   d t

= ∫ 0 1 8 t 2   d t

Para C 2 :

= ∫ 0 1 ( 2 + 8 t + 8 t 2 )   d t + 1 - 2 t + t 2   d t

= ∫ 0 1 9 t 2 + 6 t + 3   d t

Agora sim, podemos somar as duas integrais novamente. Vamos ter:

= ∫ 0 1 8 t 2   d t + ∫ 0 1 9 t 2 + 6 t + 3   d t

Como o intervalo de integração é igual para ambas, podemos somar os termos e fazer uma única integral. Desse jeito:

∫ 0 1 ( 17 t 2 + 6 t + 3 ) d t

Passo 6

Por fim, vamos resolver a integral.

Integrando em relação a d t , vamos ter:

17 t 3 3 + 3 t 2 + 3 t 0 1

Aplicando os limites de integração, ficamos com:

17 3 + 3 + 3

Logo nossa resposta é:

35 3

Resposta

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