Enunciado

Calcule a integral de linha, onde C é a curva dada.

∫ C y e x   d s

C é o segmento de reta que liga ( 1 ,   2 ) a ( 4 ,   7 ) .

Passo 1

O problema pede para calcularmos a integral de linha sobre a curva dada:

I = ∫ C y e x   d s

Beleza, então para resolvermos essa integral precisamos encontrar quem é :

d s = d x d t 2 + d y d t 2   d t

E também entendermos melhor quem é a curva C que o exercícios nos informa que é o segmento de reta que liga ( 1 ,   2 ) a ( 4 ,   7 ) .

Isso quer dizer que é uma reta que sai dos pontos ( 1 ,   2 ) e termina nos pontos ( 4 ,   7 ) . Podemos escrever isso da seguinte forma :

x 0 , y 0   = ( 1,2 )

( x   ,   y ) = ( 4,7 )

Para facilitar os cálculos, temos que fazer uma parametrização dessa curva e achar seus intervalos.

Sabendo bem essas informações podemos resolver a integral, show?

ENTÃO , VAMOS LÁ !

Passo 2

Nesse caso, a curva é o segmento de reta que liga ( 1 ,   2 ) a ( 4 ,   7 ) .

Bom, mas que reta é essa se ele só nos deu pontos???

Para achar uma reta precisamos de dois pontos quaisquer dela , então ok, isso nós temos. Agora só precisamos substituir na equação da reta , que é :

y - y 0 = m x - x 0

x 0 , y 0   = pontos da origem

x , y   = pontos finais

m = Δ y Δ x = ( y - y 0 ) ( x - x 0 ) = 7 - 2 4 - 1 = 5 3

Beleza, vamos substituir tudo na fórmula :

y - 2 = 5 3 x - 1

⇒ y = 5 3 x + 1 3

Passo 3

Ok, já temos a reta, agora precisamos parametrizá-la :

uma forma comum de parametrizar é dizer que :

x = t          

Agora substituímos esse valor na equação da reta:

y = 5 3 x + 1 3

      y = 5 t + 1 3

Beleza, agora como definimos que

x = t          

Os intervalos de t   serão o mesmo de x , dessa forma :

Se

1 ≤ x ≤ 4          

Logo :

1 ≤ t ≤ 4          

Passo 4

Bom, já entendemos bem como a curva se comporta. Agora vamos achar o d s :

d s = d x d t 2 + d y d t 2   d t

Vamos resolver as derivadas parciais. Começando por d x d t :

d x d t ( t)

d x d t = 1        

Agora d y d t :

d x d t ( 5 t + 1 3 )

      d y d t = 5 3

Substituindo na fórmula de d s :

d s = ( 1 ) 2 + ( 5 3 ) 2   d t

d s = 1 + 25 9   d t

d s = 9 + 25 9   d t

d s = 34 9   d t

d s = 1 3 34   d t

Passo 5

Desta forma, a vamos começar a preencher nossa integral:

I = ∫ C y e x   d s

Refrescando a mente :

    ⇒   y = 5 t + 1 3

⇒ x = t          

⇒ 1 ≤ t ≤ 4          

⇒ d s = 1 3 34   d t  

Agora é só substituir na integral, vai ficar assim:

I = ∫ 1 4 5 t + 1 3   e t   1 3 34   d t

= 34 9 ∫ 1 4 5 t + 1 e t   d t

Para ficar mais fácil, vamos separar em duas integrais ;

34 9 ∫ 1 4 e t   d t + 5 34 9 ∫ 1 4 t   e t   d t

A primeira integral é simples:

34 9 ∫ 1 4 e t   d t

34 9 . e t 1 4

34 9 ( e 4 - e )

Já a segunda temos que fazer por partes:

5 34 9 ∫ 1 4 t   e t   d t = t e t 1 4 - ∫ 1 4 e t   d t

5 34 9 4 e 4 - e - e 4 - e

5 34 9 . ( 3 e 4 )

15 34 9 . ( e 4 )

Agora vamos somar os resultados das integrais que separamos, vai ficar assim:

34 9 ∫ 1 4 e t   d t + 5 34 9 ∫ 1 4 t   e t   d t

34 9 ( e 4 - e ) + 15 34 9 . ( e 4 )

Colocando 34 9 em evidência :

34 9 e 4 - e + 15 e 4

Portanto,

I = 34 9 ( 16 e 4 - 1 )

Resposta

I = 34 9 ( 16 e 4 - 1 )

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Calcule o valor da integral de linha, onde C é a curva dada.
Calcule o valor da integral de linha, onde C é a curva dada. ∫ x + 2 y d x + x 2 d y Em que C é segmento de linha de ( 0,0 ) até ( 2,1 ) e de ( 2,1 ) até ( 3,0 ) .
Calcule o valor da integral de linha, onde C é a curva dada. ∫ x 2 d x + y 2 d y , C consiste no arco de círculo x 2 + y 2 = 4 de ( 2,0 ) até ( 0,2 ) seguido pelo segmento de linha de ( 0,2 ) até ( 4,
Calcule a integral de linha, onde C é a curva dada. ∫ C s e nxd x + cos ⁡ yd y C consiste na metade superior da circunferência x 2 + y 2 = 1 de ( 1 ,0 ) a ( - 1 ,0 ) e o segmento de reta de ( - 1 ,0 )
Calcule a integral de linha, onde C é a curva dada. ∫ C x 2 zd s C é o segmento de reta de ( 0 ,6 ,- 1 ) a ( 4 ,1 ,5 ) .