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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 16.2 - Ex. 7

Calcule o valor da integral de linha, onde C é a curva dada.

∫ x + 2 y d x + x 2 d y

Em que C é segmento de linha de ( 0,0 ) até ( 2,1 ) e de ( 2,1 ) até ( 3,0 ) .

Passo 1

Fala pessoal ,nesse exercício precisamos encontrar a integral de linha de :

∫ x + 2 y d x + x 2 d y

Em que C é segmento de linha de ( 0,0 ) até ( 2,1 ) e de ( 2,1 ) até ( 3,0 ) .

O primeiro passo é entender quem é C e como podemos parametrizá-la .

Depois poderemos substituir os novos valores na função original e achar os limites de integração.

Aí é só calcular a integral normalmente, bora lá !

Passo 2

Nesse exercício, devemos dividir a integral em duas curvas, C 1 e C 2 , pois temos dois segmentos de reta, sendo assim, é conveniente escolher x como parâmetro, com isso, as equações paramétricas para C são:

C 1 → x = x ,   y = 1 2 x ,     0 ≤ x ≤ 2

C 2 → x = x ,   y = 3 - x ,     2 ≤ x ≤ 3

Agora vamos substituir esses novos valores na integral :

∫ x + 2 y d x + x 2 d y

Vamos substituir primeiro o x :

∫ x + 2 y d x + x 2 d y = ∫ 0 2 x + 2 y d x + x 2 d y + ∫ 2 3 x + 2 y d x + x 2 d y

Agora o y :

∫ 0 2 x + 2 1 2 x d x + x 2 d y + ∫ 2 3 x + 2 3 - x d x + x 2 d y

Uma coisa muito importante . Como agora a variável é o x precisamos substituindo o valor de d y para as duas curvas, temos:

C 1 → y = 1 2 x

d y = 1 2 d x

C   2 → y = 3 - x

d y = - d x

Substituindo na integral:

∫ 0 2 x + 2 1 2 x d x + x 2 1 2 d x + ∫ 2 3 x + 2 3 - x d x + x 2 ( - d x )

∫ 0 2 2 x d x + x 2 1 2 d x + ∫ 2 3 x + 6 - 2 x d x - x 2 d x )

∫ 0 2 2 x + 1 2 x 2 d x + ∫ 2 3 6 - x - x 2 d x

Passo 3

Agora, resolvendo a integral :

∫ 0 2 2 x + 1 2 x 2 d x + ∫ 2 3 6 - x - x 2 d x

Vamos fazer uma de cada vez, começando pela primeira:

∫ 0 2 2 x + 1 2 x 2 d x

x 2 + 1 6 x 3 0 2

2 2 + 1 6 2 3 - 0 2 + 1 6 0 3

4 + 1 3 4

∫ 0 2 2 x + 1 2 x 2 d x = 16 3

Sendo assim:

∫ 0 2 2 x + 1 2 x 2 d x + ∫ 2 3 6 - x - x 2 d x

↓

16 3 + ∫ 2 3 6 - x - x 2 d x

Passo 4

Agora vamos para a segunda integral :

∫ 2 3 6 - x - x 2 d x

6 x - 1 2 x 2 - 1 3 x 3 2 3

    6 3 - 1 2 3 2 - 1 3 3 3 - 6 2 - 1 2 2 2 - 1 3 2 3  

∫ 2 3 6 - x - x 2 d x = + 9 2 - 22 3

Substituindo em :

16 3 + ∫ 2 3 6 - x - x 2 d x

↓

16 3 + 9 2 - 22 3

Dessa forma, o valor da integral é:

∫ x + 2 y d x + x 2 d y = 5 2

Resposta

∫ x + 2 y d x + x 2 d y = 5 2

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