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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 5ª Edição - James Stewart- Ed: 5º - Capítulo 16.2 - Ex. 10

Calcule a integral de linha, onde C é a curva dada.

∫ C x 2 z   d s

C é o segmento de reta de ( 0 ,   6 ,   - 1 ) a ( 4 ,   1 ,   5 ) .

Passo 1

Beleza, o problema pede para calcularmos a integral de linha sobre a curva dada:

I = ∫ C x 2 z   d s

Vamos organizar um pouco a ordem das coisas na nossa cabeça.

Primeiro nós precisamos saber quem é essa curva, porque vamos precisar dos intervalos na hora de integrar, belezinha?

Outra coisa é descobrir quem é esse tal de d s :

d s = d x d t 2 + d y d t 2 + d z d t 2 d t

Pela fórmula , vamos precisar fazer a derivada parcial de x ,   y     e   z .

Com essas informações conseguimos começar a resolver a integral, ok?

Bora lá !

Passo 2

Vamos começar pela curva. Ele nos diz que ela será o segmento da reta de ( 0 ,   6 ,   - 1 ) a ( 4 ,   1 ,   5 ) . MAS CADÊ A RETA???? Nesse caso vamos precisar descobrir a equação da reta.

Vamos revisar uma coisa, a equação da reta pode ser encontrada a partir da seguinte fórmula:

r ( t ) = ( x 1 , y 1 )   + t   .     d →

onde :

r ( t ) = equação da reta

( x 1 , y 1 ) =   Os pontos de origem

  d → = vetor diretor

A gente sabe que a curva é uma reta em três dimensões, que liga o ponto ( 0 ,   6 ,   - 1 ) ao ( 4 ,   1 ,   5 ) .

O ponto de origem será:

( x 1 , y 1 , z 1 ) =   0 ,   6 ,   - 1

e o ponto final :

( x 2 , , y 2 , z 2 ) = 4 ,   1 ,   5

O vetor diretor será :

u → = ( x 2 , , y 2 , z 2 ) - ( x 1 , y 1 , z 1 )

u → = 4 ,   1 ,   5 - 0 ,   6 ,   - 1 = ( 4 ,   - 5 ,   6 )

Agora podemos substituir na equação da reta

r → t = 0 ,   6 ,   - 1 + t 4 ,   - 5 ,   6

Passo 3

Beleza , agora que descobrimos a Curva, que foi a equação da reta , vamos precisar saber quem é x ,   y     e   z .

Vamos usar as seguintes fórmulas :

x = x 1 + t   .     ( x 2 - x 1 )

y = y 1 + t   .     ( y 2 - y 1 )

z = z 1 + t   .     ( z 2 - z 1 )

A gente sabe que :

( x 1 , y 1 , z 1 ) =   0 ,   6 ,   - 1

( x 2 , , y 2 , z 2 ) = ( 4 ,   1 ,   5 )

Então só precisamos substituir esses valores nas fórmulas . Vamos lá:

para x :

x = 0 + t   .     ( 4 - 0 )

x = 4 t

para y :

y = 6 + t   .     ( 1 - 6 )

y = 6 - 5 t

para z :

z = - 1 + t   .     ( 5 - ( - 1 ) )

z = - 1 + 6 t

Passo 4

Agora para acabar de descobrimos todas as informa��ões sobre a curva, vamos precisar descobrir qual intervalo de t .

Para isso vamos usar a equação da reta :

r → t = 0 ,   6 ,   - 1 + t 4 ,   - 5 ,   6

Agora vamos nos fazer a seguinte pergunta, qual o valor de t para retornarmos aos pontos de origem ??

( x 1 , y 1 , z 1 ) =   0 ,   6 ,   - 1

e para os pontos finais ??

( x 2 , , y 2 , z 2 ) = ( 4 ,   1 ,   5 )

Vamos começar pelos de origem:

Para isso , t = 0

r → 0 = 0 ,   6 ,   - 1 + 0 4 ,   - 5 ,   6

r → 0 = 0 ,   6 ,   - 1

Agora os pontos finais

Para isso , t = 1

r → 1 = 0 ,   6 ,   - 1 + 1 4 ,   - 5 ,   6

r → 1 = 0 ,   6 ,   - 1 + 4 ,   - 5 ,   6

r → 1 = ( 4 ,   1 ,   5 )

Assim o intervalo de t será:

0 ≤ t ≤ 1

Passo 5

PERFEITO!!

Já descobrimos bastante coisa, agora vamos lembrar que para resolver a integral precisamos achar o d s . Mas para isso vamos primeiro fazer as derivadas parciais de x ,   y     e   z .

⇒ x = 4 t

d x d t = 4

⇒ y = 6 - 5 t

  d y d t = - 5              

⇒ z = - 1 + 6 t

d z d t = 6

Desta forma, substituindo na fórmula :

d s = d x d t 2 + d y d t 2 + d z d t 2 d t

4 2 + - 5 2 + 6 2

16 + 25 + 36

77

Passo 6

Vamos relembrar da fórmula da integral :

I = ∫ C x 2 z   d s

Já sabemos o intervalo:

0 ≤ t ≤ 1

O ds :

d s = 77

e os valores de :

  x = 4 t

z = - 1 + 6 t

Agora é só substituir tudo na integral e ser feliz!!!

I = ∫ 0 1 4 t 2 ⋅ - 1 + 6 t   77   d t

= 16 77 ∫ 0 1 - t 2 + 6 t 3   d t

Portanto,

I = 16 77   - t 3 3 + 6 t 4 4 0 1

= 16 77 - 1 3 + 3 2

= 16 77 ⋅ 7 6

Logo,

I = 56 77 3

Resposta

I = 56 77 3

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