Calcule o valor da integral de linha, onde C é a curva dada.

Passo 1

Nesse exercício iremos analisar:

∫ x e y d s

Em que C é o segmento de linha de ( 2,0 ) até ( 5,4 ) .

Passo 2

Nesse caso, as equações paramétricas para C são:

x = 2 + 3 t ,   y = 4 t ,     0 ≤ t ≤ 1

Sabemos que essa integral de linha pode ser calculada através da fórmula 3 apresentada nessa seção do livro, sendo assim, substituindo os valores na fórmula, temos:

∫ x e y d s = ∫ 0 1 2 + 3 t e 4 t 3 2 + 4 2 d t

= 5 ∫ 0 1 2 e 4 t + 3 t e 4 t d t

Passo 3

Agora, resolvendo a integral para t , temos:

5 1 2 e 4 t + 3 16 ( 4 t e 4 t - e 4 t ) 0 1 = 5 1 2 e 4 + 3 16 4 e 4 - e 4 - 1 2 + 3 16 0 - 1

Dessa forma, o valor da integral é:

∫ x e y d s = 85 16 e 4 - 25 16

Resposta

∫ x e y d s = 85 16 e 4 - 25 16

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