Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 5ª Edição - James Stewart- Ed: 5º - Capítulo 16.2 - Ex. 5
Calcule a integral de linha, onde é a curva dada.
é o arco de parábola de a .
Passo 1
Oi, oi, galerinha!
O problema pede para calcularmos a integral de linha sobre a curva dada:
Onde é o arco da parábola
Que liga os pontos
Show?
Passo 2
Então, como estamos utilizando integrais de linhas, vamos começar usando a seguinte parametrização.
Para os pontos, descobrimos que nossos limites de integração será
Logo, como estamos trabalhando com :
Desta forma, a integral de linha pode ser escrita como
Passo 3
Agora vamos calcular nossa integral, né?
Vamos organizar melhor nossa integral. Colocando para fora o como se fosse uma constante
E agora podemos distribuir aquele com a galera do parênteses:
Podemos dividir essa integral em duas também, segue só:
Resolvendo a primeira integral:
Substituindo pelos limites de integração, chegaremos a
Passo 4
Agora em relação a outra integral, faremos
Como dentro da integral temos um polinômio e um logaritmo natural, vamos ter que fazer a integração por partes, com essa fórmula aqui:
Onde chamaremos
Com isso, chegaremos a
Podemos colocar a fração para fora da integral, e assim teremos:
Resolvendo a integral, organizando e substituindo os limites de integración, chegaremos a
Retornando a integral, ficaremos com
Passo 5
Agora, pessoal, chegamos ao passo final da dança, o último truque de mágica...
Iremos unir o que descobrimos que cada parte da integral:
Fazendo um M.M.C.zinho básico, chegaremos a
Show de bolaaa 😉