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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 5ª Edição - James Stewart- Ed: 5º - Capítulo 16.2 - Ex. 1

Calcule a integral de linha, onde C é a curva dada.

int_C y d s

C : x = t^2 , y = t , 0 <= t <= 2

Passo 1

O problema pede para calcularmos a integral de linha sobre a curva dada:

I = int_C y d s

Para isso, lembre-se que

d s = sqrt(((d x)/(d t))^2 + ((d y)/(d t))^2) d t

Nesse caso,

x = t^2 e y = t

Logo,

(d x)/(d t) = 2 t e (d y)/(d t) = 1

Assim,

d s = sqrt(4 t^2 + 1) d t

Passo 2

Desta forma, a integral de linha pode ser escrita como

I = int_0^2 t sqrt(4 t^2 + 1) d t

Para resolver essa integral, fazemos a seguinte mudança de variável:

u = 4 t^2 + 1 => d u = 8 t d t => t d t = (d u)/(8)

Logo,

I = (1)/(8) int_1^(17) sqrt(u) d u = (1)/(8) int_1^(17) u^(1 // 2) d u

Fazendo a integração:

I = (1)/(8) ((2)/(3) u^((3)/(2)))_1^(17) = (1)/(12) ( 17 sqrt(17) - 1 )

Resposta

I = (1)/(12) ( 17 sqrt(17) - 1 )

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