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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 5ª Edição - James Stewart- Ed: 5º - Capítulo 16.2 - Ex. 6

Calcule a integral de linha, onde C é a curva dada.

∫ C x e y   d s

C é o arco de curva x = e y de ( 1 ,   0 ) a ( e ,   1 ) .

Passo 1

O problema pede para calcularmos a integral de linha sobre a curva dada:

I = ∫ C x e y   d s

Para isso, lembre-se que

d s = d x d t 2 + d y d t 2   d t

Nesse caso, a curva é x = e y Vamos usar a seguinte parametrização:

x = e t                 e             y = t

Logo,

d x d t = e t           e           d y d t = 1

Assim,

d s = e 2 t + 1   d t

Passo 2

Desta forma, a integral de linha pode ser escrita como

I = ∫ 1 e e t ⋅ e t   1 + e 2 t   d t = ∫ 1 e   e 2 t 1 + e 2 t   d t

Vamos chamar u = 1 + e 2 t , assim,

d u = 2   e 2 t   d t ⇒ e 2 t   d t = d u 2

Logo,

I = 1 2 ∫ 1 + e 2 1 + e 2 e u   d u = 1 2 2 3 u 3 2 1 + e 2 1 + e 2 e

Portanto,

I = 1 3 1 + e 2 e 1 + e 2 e - 1 + e 2 1 + e 2

Resposta

I = 1 3 1 + e 2 e 1 + e 2 e - 1 + e 2 1 + e 2

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