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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 5ª Edição - James Stewart- Ed: 5º - Capítulo 16.2 - Ex. 19

Calcule a integral de linha ∫ C F → ⋅ d r → , onde C é dada pela função vetorial r → ( t ) .

F → x , y = x 2 y 3 i ^ - y x j ^ ,     r → t = t 2 i ^ - t 3 j ^ ,     0 ≤ t ≤ 1

Passo 1

Faaala galera, beleza?

Temos que calcular a seguinte integral de linha:

∫ C F → ⋅ d r →

Onde,

F → x , y = x 2 y 3 i ^ - y x j ^

e C é dada pela função vetorial r → ( t ) :

r → t = t 2 i ^ - t 3 j ^ ,     0 ≤ t ≤ 1

Como vamos resolver?!

Para esse tipo de situação, onde temos um campo vetorial e temos uma parametrização, devemos lembrar da seguinte expressão:

∫ a b F → r → t ⋅ r → ' t   d t

Nosso objetivo é escrever F → x , y em função de r → t , e achar a derivada de r → ' t em relação a d t .

Já temos os intervalos de integração:

0 ≤ t ≤ 1

Assim, é so montar a integral, aplicar o produto escalar F → r → t ⋅ r → ' t e achar nossa resposta.

Bora lá!!!!

Passo 2

O problema pede para calcularmos a integral de linha sobre a curva dada:

∫ C F → ⋅ d r →

Temos do enunciado que:

F → x , y = x 2 y 3 i ^ - y x j ^

e C é dada pela função vetorial r → ( t ) :

r → t = t 2 i ^ - t 3 j ^ ,     0 ≤ t ≤ 1

Sabemos que esse tipo de integral podemos resolver da seguinte forma:

∫ a b F → r → t ⋅ r → ' t   d t

Vamos começar obtendo F → r → t . É só substituirmos r → ( t ) em F → x , y . Fazendo isso temos:

F → r → t = t 2 2 - t 3 3 i ^ - - t 3 t 2 j ^

F → r → t = - t 13 i ^ + t 4 j ^

Observe que apenas substituímos as componentes x e y, pelos seus respectivos termos:

r → t = t 2 i ^ - t 3 j ^

x = t 2 e y = - t 3

Passo 3

Agora vamos determinar r → ' t . Para isso, precisamos fazer a derivada do vetor r → t em relação a d t .

r → t = t 2 i ^ - t 3 j ^

Assim, derivando temos:

d r → d t = r → ' t = 2 t   i ^ - 3 t 2   j ^

Agora podemos substituir os termos na integral.

∫ 0 1 - t 13 i ^ + t 4 j ^ ⋅ 2 t   i ^ - 3 t 2   j ^   d t

Lembre-se que temos um produto escalar, então devemos multiplicar as componentes i ^   com i ^   e     j ^ com j ^ .

Aplciando o produto escalar, ficamos com:

∫ 0 1 - 2 t 14 - 3 t 6   d t

Passo 4

Agora é so resolver essa integral simples em d t .

∫ 0 1 - 2 t 14 - 3 t 6   d t

Fazendo a integral, temos:

- 2 15 t 15 - 3 t 7 7 0 1

Aplicando os limites de integração:

- 2 15 - 3 7

Logo, nossa resposta é:

∫ C F → ⋅ d r → = - 59 105

Resposta

∫ C F → ⋅ d r → = - 59 105

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