Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 5ª Edição - James Stewart- Ed: 5º - Capítulo 16.2 - Ex. 19
Calcule a integral de linha , onde é dada pela função vetorial .
Passo 1
Faaala galera, beleza?
Temos que calcular a seguinte integral de linha:
Onde,
e é dada pela função vetorial :
Como vamos resolver?!
Para esse tipo de situação, onde temos um campo vetorial e temos uma parametrização, devemos lembrar da seguinte expressão:
Nosso objetivo é escrever em função de , e achar a derivada de em relação a d.
Já temos os intervalos de integração:
Assim, é so montar a integral, aplicar o produto escalar e achar nossa resposta.
Bora lá!!!!
Passo 2
O problema pede para calcularmos a integral de linha sobre a curva dada:
Temos do enunciado que:
e é dada pela função vetorial :
Sabemos que esse tipo de integral podemos resolver da seguinte forma:
Vamos começar obtendo . É só substituirmos em . Fazendo isso temos:
Observe que apenas substituímos as componentes x e y, pelos seus respectivos termos:
e
Passo 3
Agora vamos determinar . Para isso, precisamos fazer a derivada do vetor em relação a .
Assim, derivando temos:
Agora podemos substituir os termos na integral.
Lembre-se que temos um produto escalar, então devemos multiplicar as componentes com com .
Aplciando o produto escalar, ficamos com:
Passo 4
Agora é so resolver essa integral simples em .
Fazendo a integral, temos:
Aplicando os limites de integração:
Logo, nossa resposta é: