Calcule a integral de linha ∫ C F → ⋅ d r → , onde C é dada pela função vetorial r → ( t ) . F → x , y = x 2 y 3 i ^ - y x j ^ , r → t = t 2 i ^ - t 3 j ^ , 0 ≤ t ≤ 1

∫ C F → ⋅ d r → = - 59 105

Enunciado

Faaala galera, beleza?

Temos que calcular a seguinte integral de linha:

Onde,

e é dada pela função vetorial :

Como vamos resolver?!

Para esse tipo de situação, onde temos um campo vetorial e temos uma parametrização, devemos lembrar da seguinte expressão:

Nosso objetivo é escrever em função de , e achar a derivada de em relação a d.

Já temos os intervalos de integração:

Assim, é so montar a integral, aplicar o produto escalar e achar nossa resposta.

Bora lá!!!!

O problema pede para calcularmos a integral de linha sobre a curva dada:

Temos do enunciado que:

e é dada pela função vetorial :

Sabemos que esse tipo de integral podemos resolver da seguinte forma:

Vamos começar obtendo . É só substituirmos em . Fazendo isso temos:

Observe que apenas substituímos as componentes x e y, pelos seus respectivos termos:

Agora vamos determinar . Para isso, precisamos fazer a derivada do vetor em relação a .

Assim, derivando temos:

Agora podemos substituir os termos na integral.

Lembre-se que temos um produto escalar, então devemos multiplicar as componentes com com .

Aplciando o produto escalar, ficamos com:

Agora é so resolver essa integral simples em .

Fazendo a integral, temos:

Aplicando os limites de integração:

Logo, nossa resposta é: