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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 5ª Edição - James Stewart- Ed: 5º - Capítulo 15.4 - Ex. 18

Utilize a integral dupla para determinar a área da região.

A região delimitada pela curva r = 4 + 3 c o s   θ   .

Passo 1

Fala aí! Precisamos usar a integral dupla para achar a área da curva r , beleza?

Bom, esse cosseno aí já entrega pra gente que podemos facilitar as coisas usando coordenadas polares, né? Para isso vamos ter que:

d A = r   .   d r   .   d θ

Então a nossa integral dupla vai ficar:

A = ∫ ∫   r   .   d r   .   d θ

A questão nos diz que o r delimita a área em 4 + 3 c o s   θ , então temos r variando de 0 até 4 + 3 c o s   θ … E assumindo o θ variando de 0 até 2 π , vamos ficar com o seguinte então:

A = ∫ 0 2 π   ∫ 0 4 + 3 c o s   θ   r   .   d r   .   d θ

Agora a gente já pode calcular!

Passo 2

Calculando primeiro a integral em r :

A = ∫ 0 2 π   r 2 2 0 4 + 3 c o s   θ   .   d θ

A = ∫ 0 2 π   4 + 3 c o s   θ 2 2 - 0 2   .   d θ

A = ∫ 0 2 π   4 + 3 c o s   θ 2 2   .   d θ

A = 1 2 ∫ 0 2 π 4 + 3 c o s   θ   2   .   d θ

Fazendo esse produto notável, vamos ter:

A = 1 2 ∫ 0 2 π 4 2 + 2   .   4   .   3 c o s θ + 3 2 c o s 2 θ   .   d θ

A = 1 2 ∫ 0 2 π 16 + 24   c o s θ + 9 c o s 2 θ   .   d θ

Agora podemos separar em várias integrais para facilitar nosso trabalha:

A = 1 2 .   ∫ 0 2 π 16   .   d θ +   ∫ 0 2 π   24   c o s θ   .   d θ   + ∫ 0 2 π   9   c o s 2 θ   .   d θ

A = 1 2 .   16   .   ∫ 0 2 π 1   .   d θ +   24   .   ∫ 0 2 π   c o s θ   .   d θ   +   9   .   ∫ 0 2 π     c o s 2 θ   .   d θ

Aqui a gente tem que nos lembrar de uma dica muito importante que diz pra gente que:

  c o s 2 θ = 1 + c o s   2 θ 2

Agora podemos voltar a resolução e teremos:

A = 1 2 .   16   .   ∫ 0 2 π 1   .   d θ +   24   .   ∫ 0 2 π   c o s θ   .   d θ   +   9   .   ∫ 0 2 π   1 + c o s   2 θ 2   .   d θ

A = 1 2 .   16   .   θ 0 2 π +   24   .   s e n θ 0 2 π   +   9 2   .   ∫ 0 2 π   1 + c o s   2 θ   .   d θ

A = 1 2 .   16   .   2 π   +   24   .   0   +   9 2   .   ∫ 0 2 π 1   .   d θ + ∫ 0 2 π c o s   2 θ   .   d θ

A = 1 2 .   32 π   +   9 2   .   θ 0 2 π + s e n θ   .   c o s θ 0 2 π

A = 1 2 .   32 π   +   9 2   .   2 π + 0

A = 1 2 .   32 π   +   9 π

A = 41 π 2

Uhull! Conseguimos!!

Resposta

A = 41 π 2

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