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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 7ª Edição - James Stewart- Ed: 7º - Capítulo 16.2 - Ex. 41

Determine o trabalho realizado pelo campo de força F → x , y , z = x - y 2 ⋅ i → + y - z 2 ⋅ j → + z - x 2 ⋅ k → sobre uma partícula que se move ao longo do segmento de reta de 0,0 , 1 a 2,1 , 0

Passo 1

E aí, meus queridos! De boa?

A questão pede o trabalho realizado pelo campo de força:

F → x , y , z = x - y 2 ⋅ i → + y - z 2 ⋅ j → + z - x 2 ⋅ k →

sobre uma partícula que se move ao longo do segmento de reta de 0,0 , 1 a 2,1 , 0

O trabalho é calculado por

W = ∫ a b F → r t ⋅ r ' t ⋅ d t

Para resolver o problema vamos precisar descobrir qual a função parametrizada, ou seja, em função de t , da curva C para depois calcularmos o trabalho realizado para a partícula que se move na mesma curva.

Como nossa curva C é um segmento de reta no espaço, podemos parametrizá-la usando:

r t = P 1 + t P 2 - P 1

Vamos lá!

Passo 2

Precisamos inicialmente definir qual será a função r t .

r t = P 1 + t P 2 - P 1

Os pontos da nossa reta são:

P 1 = 0,0 , 1

e

P 2 = 2,1 , 0

Então:

r t = 0,0 , 1 + t 2,1 , 0 - 0,0 , 1

Subtraindo os pontos:

r t = 0,0 , 1 + t 2,1 , - 1

Somando finalmente, temos:

r t = 2 t , t , 1 - t

Então nossas equações paramétricas são:

x = 2 t

y = t

z = 1 - t

Quando temos a parametrização da reta no espaço, nosso t varia entre 0 e 1:

0 ≤ t ≤ 1

As derivadas das nossas equações paramétricas são:

d x = 2 d t

d y = d t

d z = - d t

Passo 3

Agora vamos escrever nossa função trabalho de forma parametrizada:

F → x , y , z = x - y 2 ⋅ i → + y - z 2 ⋅ j → + z - x 2 ⋅ k →

Reescrevendo:

F → x , y , z = ( x - y 2 , y - z 2 , z - x 2 )

Substituindo pelas nossas equações paramétricas:

F → r t = ( 2 t - t 2 , t - ( 1 - t ) 2 , 1 - t - ( 2 t ) 2 )

Montando o vetor das derivadas r ' t :

r ' t = ( 2,1 , - 1 )

Substituindo na integral

W = ∫ a b F → r t ⋅ r ' t ⋅ d t

ficamos com:

W = ∫ 0 1 ( 2 t - t 2 , t - ( 1 - t ) 2 , 1 - t - ( 2 t ) 2 ) ⋅ ( 2,1 , - 1 ) ⋅ d t =

Multiplicando os vetores coordenada por coordenada e somando, temos:

= ∫ 0 1 4 t - 2 t 2 + t - t 2 - 1 + 2 t - 1 + t + 4 t 2 d t

Simplificando os termos:

= ∫ 0 1 ( t 2 + 8 t - 2 ) d t =

Aplicando os limites de integração:

= t 3 3 + 4 ⋅ t 2 - 2 ⋅ t 0 1 = 7 3

Então nosso trabalho é:

W = 7 3

Resposta

W = 7 3

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Calcule ∫ γ d x + x y d y + zd z , onde γ é a interseção de x 2 + y 2 + z 2 = 2 ,x ≥ 0 ,y ≥ 0 e z ≥ 0 , com o plano y = x ; o sentido do percurso é do ponto 0,0 , 2 para 1,1 , 0 .
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Calcule ∮ c fd S 1.e f x , y , z = y z E C é o segmento de reta de extremidades 0,0 , 0 e 1,3 , 2