Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 7ª Edição - James Stewart- Ed: 7º - Capítulo 16.2 - Ex. 4
Calcule a integral de linha, onde é a curva dada.
é o segmento de reta que liga a
Passo 1
Falaa, pessoal!
Nessa questão, vamos calcular uma integral de linha de uma função de duas variáveis sobre uma curva .
Percebe que como temos uma integral de uma função escalar , e o diferencial é , nós estamos no caso escalar!
Então, pra calcular essa integral, fazemos:
Onde é uma parametrização de com .
Pra resolver essa questão vamos começar parametrizando a curva , depois calculando a derivada , que é só derivar cada uma das coordenadas de em função de .
A parametrização de um segmento de reta entre e é dada por:
Por último, vamos colocar tudo isso dentro da fórmula da integral e calcular!
Passo 2
Vamos parametrizar o segmento de reta de até , fica assim:
Então
Com
Passo 3
Para a derivada, calculamos:
O módulo é:
Passo 4
Nossa integral vai ficar assim:
Lembrando que
Então:
Passo 5
Pra resolver essa integral, vamos fazer uma substituição :
Então:
Podemos tirar da integral porque são constantes:
Fazendo integração por partes:
Então:
Calculando:
Colocando em evidência, achamos o valor da integral: