Calcule a integral de linha, onde C é a curva dada.

∫ C y x   d s

C: x = t^4, y = t^3, 1/2 <= t <= 1

Passo 1

O problema pede para calcularmos a integral de linha sobre a curva dada:

I = ∫ C y x   d s

Para isso, lembre-se que

d s = d x d t 2 + d y d t 2   d t

Nesse caso,

x = t 4             e           y = t 3

Logo,

d x d t = 4 t 3           e           d y d t = 3 t 2

Assim,

d s = 16 t 6 + 9 t 4   d t = t 2 16 t 2 + 9 d t

Passo 2

Desta forma, a integral de linha pode ser escrita como

I = ∫ 1 / 2 1 t 3 t 4 ⋅ t 2 16 t 2 + 9   d t = ∫ 1 / 2 1 t   16 t 2 + 9   d t

Para resolver essa integral, fazemos a seguinte mudança de variável:

u = 16 t 2 + 9 ⇒ d u = 32 t   d t ⇒ t   d t = d u 32

E os limites de integração ficam

t = 1 → t = 16 + 9 = 25

t = 1 2 → t = 16 1 2 2 + 9 = 13

Logo,

I = ∫ 13 25 u d u 32 = 1 32 u 3 / 2 3 / 2 13 25 = 1 32 ⋅ 2 3   25 3 / 2 - 13 3 / 2  

I = 1 48 125 - 13 13

Resposta

I = 1 48 125 - 13 13

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