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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 5ª Edição - James Stewart- Ed: 5º - Capítulo 16.2 - Ex. 2

Calcule a integral de linha, onde C é a curva dada.

int_C (y)/(x) d s

C : x = t^4 , y = t^3 , (1)/(2) <= t <= 1

Passo 1

O problema pede para calcularmos a integral de linha sobre a curva dada:

I = int_C (y)/(x) d s

Para isso, lembre-se que

d s = sqrt(((d x)/(d t))^2 + ((d y)/(d t))^2) d t

Nesse caso,

x = t^4 e y = t^3

Logo,

(d x)/(d t) = 4 t^3 e (d y)/(d t) = 3 t^2

Assim,

d s = sqrt(16 t^6 + 9 t^4) d t = t^2 sqrt(16 t^2 + 9) d t

Passo 2

Desta forma, a integral de linha pode ser escrita como

I = int_(1 // 2)^1 (t^3)/(t^4) * t^2 sqrt(16 t^2 + 9) d t = int_(1 // 2)^1 t sqrt(16 t^2 + 9) d t

Para resolver essa integral, fazemos a seguinte mudança de variável:

u = 16 t^2 + 9 => d u = 32 t d t => t d t = (d u)/(32)

E os limites de integração ficam

t = 1 -> t = 16 + 9 = 25

t = (1)/(2) -> t = 16 ((1)/(2))^2 + 9 = 13

Logo,

I = int_(13)^(25) sqrt(u) (d u)/(32) = (1)/(32) ((u^(3 // 2))/(3 // 2))_(13)^(25) = (1)/(32) * (2)/(3) (25^(3 // 2) - 13^(3 // 2))

I = (1)/(48) (125 - 13 sqrt(13))

Resposta

I = (1)/(48) (125 - 13 sqrt(13))

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