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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 16.2 - Ex. 11

Calcule a integral de linha, onde C é a curva dada.

∫ C x e y z d s   ,                     C   é   o   s e g m e n t o   d e   r e t a   d e   0 ,   0 ,   0   a   ( 1 ,   2 ,   3 )

Passo 1

E aí, pessoal! Belezinha?

A questão pede a integral de linha de:

∫ C x e y z d s

Onde C   é   o   s e g m e n t o   d e   r e t a   d e   0 ,   0 ,   0   a   ( 1 ,   2 ,   3 ) . A integral de linha sobre d s é calculada pela integral:

∫ C f x , y , z d s = ∫ a b f x t , y t , z t d x d t 2 + d y d t 2 + d z d t 2 d t

Então vamos precisar parametrizar nosso segmento de reta no espaço usando a parametrização:

r t = P 1 + t P 2 - P 1

Assim, vamos achar:

x t , y t , z ( t )

Daí podemos calcular:

d x d t 2 + d y d t 2 + d z d t 2

Que são as derivadas parciais dessas funções paramétricas. Daí substituímos então na nossa integral e daí é só calcular normalmente!

Bora?

Passo 2

Galera, primeiro vamos escrever uma parametrização para C :

r t = P 1 + t P 2 - P 1

Substituindo:

P 1 = 0 ,   0 ,   0    

E:

P 2 = ( 1 ,   2 ,   3 )

Temos:

r t = 0 ,   0 ,   0     + t ( 1 ,   2 ,   3 ) - 0 ,   0 ,   0

Subtraindo os pontos dentre dos parênteses:

r t = 0 ,   0 ,   0     + t 1 ,   2 ,   3

Somando cada componente, temos:

r t = t ,   2 t ,   3 t

Então:

x = t   ,       y = 2 t   ,       z = 3 t

Quando parametrizamos um segmento de reta no espaço tridimensional, temos:

0 ≤ t ≤ 1

Agora podemos parametrizar nossa função do integrando:

f x , y , z = x e y z

Que fica:

f x t , y t , z t = t e 2 t   .   3 t = t e 6 t 2  

Passo 3

Calculando as derivadas parciais em d s :

d s = d x d t 2 + d y d t 2 + d z d t 2   d t = 1 2 + 2 2 + 3 2   d t

Então, temos:

d s = 14   d t

Juntando todas essas informações, podemos escrever:

∫ C x e y z d s   = ∫ 0 1 14   t e 6 t 2 d t

Passo 4

Agora vamos resolver a integral obtida:

∫ 0 1 14   t e 6 t 2 d t

Tirando a constante para fora e integrando em t :

= 14 e 6 t 2 6   .   2 0 1

Aplicando os limites de integração:

= 14 12   e 6 - 1

Teremos, então:

∫ C x e y z d s = 14 12   e 6 - 1

Resposta

∫ C x e y z d s = 14 12   e 6 - 1

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