Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 16.2 - Ex. 11
Calcule a integral de linha, onde é a curva dada.
Passo 1
E aí, pessoal! Belezinha?
A questão pede a integral de linha de:
Onde . A integral de linha sobre é calculada pela integral:
Então vamos precisar parametrizar nosso segmento de reta no espaço usando a parametrização:
Assim, vamos achar:
Daí podemos calcular:
Que são as derivadas parciais dessas funções paramétricas. Daí substituímos então na nossa integral e daí é só calcular normalmente!
Bora?
Passo 2
Galera, primeiro vamos escrever uma parametrização para :
Substituindo:
E:
Temos:
Subtraindo os pontos dentre dos parênteses:
Somando cada componente, temos:
Então:
Quando parametrizamos um segmento de reta no espaço tridimensional, temos:
Agora podemos parametrizar nossa função do integrando:
Que fica:
Passo 3
Calculando as derivadas parciais em :
Então, temos:
Juntando todas essas informações, podemos escrever:
Passo 4
Agora vamos resolver a integral obtida:
Tirando a constante para fora e integrando em :
Aplicando os limites de integração:
Teremos, então: