Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 16.5 - Ex. 11
O campo vetorial é mostrado no plano e é o mesmo em todos os planos horizontais (em outras palavras é independente de e sua componente é ).
- O será positivo, negativo ou nulo? Explique.
- Determine se o . Se não, em que direção aponta?
Passo 1
Olá, tudo bem? Vamos analisar o que a questão quer.
Primeiro, ela diz que o campo vetorial no plano mostrado pela figura
É o mesmo, caso a gente tente variar , ou seja, esse campo só existe nesse plano onde .
Lembrando que um campo vetorial qualquer em duas dimensões pode ser escrito assim:
Onde representa o eixo e representa o eixo .
O rotacional é esse aqui:
Onde representa o eixo
E o divergente é esse:
Tudo isso que mostrei é definido no livro, tá bom?
Na letra (a),
Ela quer a gente diga se o divergente desse campo é , negativo ou positivo e explicar o motivo.
Na letra (b),
A questão pede para dizer se o rotacional é , ou seja
Caso não seja, dizer para qual direção ele aponta.
Então, vamos primeiro analisar o campo vetorial e depois responderemos as perguntas, ok?
Passo 2
Bora analisar esse campo!
Temos então que campo vetorial qualquer pode ser representado como
Para o gráfico dado
Podemos perceber que a componente do campo é
em todo o plano. E não varia conforme variamos ou (os vetores permanecem deitados o tempo inteiro).
Já para , que é a componente do campo , não varia com a variação de (para uma mesma linha, os vetores têm a mesma largura)
Mas aumenta à medida que aumenta (para uma mesma coluna, os vetores mudam de largura e até sentido!).
Então
Passo 3
- O divergente é calculado por
- Podemos calcular o rotacional por
Como
Temos que
Portanto, o divergente é nulo.
Passo 4
Temos
Substituindo
Como temos um negativo antes, o rotacional vai ter a componente não nula e negativa, então a direção do rotacional é para o eixo negativo de ou para dentro da folha.
Resposta
- aponta na direção .