Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 5ª Edição - James Stewart- Ed: 5º - Capítulo 16.3 - Ex. 17
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Determine uma função tal que e
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Use a parte (a) para calcular sobre a curva dada.
Passo 1
(a) Fala pessoal. O exercício nos pede para que determinemos uma função tal que . Ou seja, precisamos encontrar uma função potencial associada ao campo conservativo. Isso quer dizer que teremos que achar :
Beleza, sabemos que é:
Então vamos precisar achar as derivadas parciais descritas acima e para que as funções sejam uma única função teremos que integrar em relação a :
Depois temos que derivar a função potencial em relação a e depois integrá-la e por último faremos o mesmo em relação a para achar quem é .
O resultado da integração e das diferenciações será a nossa função .
(b)Agora ele nos pede para calcular sobre a curva :
Isso quer dizer que ele já os deu a curva parametrizada .
Então o que precisamos fazer é achar o valor da função nos pontos e achar ) e ) , Porque como o campo é conservativo podemos dizer que :
Vamos lá?
Passo 2
Primeiro passo então é achar as derivadas parciais :
Em relação a
Em relação a
Em relação a
Muito cuidado nessa parte, a f��rmula que vimos nos dizia que :
Ou seja, isso é uma igualdade, quer dizer que as derivadas parciais da função que vamos descobrir tem essa relação com o campo que ele nos deu.
Passo 3
Agora que identificamos as derivadas parciais vamos integrar em relação à :
Podemos substituir na função padrão:
↓
Passo 4
Legal! Agora vamos achar :
Vamos começar pela derivada da função potencial determinada em relação à :
Opa, mas calma aí, nós sabemos que :
=
Então vamos substituir o valor da derivada:
Sendo assim :
E sua integral será :
Agora sabemos que a função não depende de ,então podemos reescrevê-la sendo :
Substituindo em :
↓
Passo 5
Show! Agora vamos fazer o mesmo procedimento em relação a :
Vamos derivar a função potencial em relação a :
↓
Beleza! Sabemos que :
Substituindo :
Sendo assim temos que :
Vamos integral :
+ C
Substituindo na função
↓
Passo 6
Beleza pessoal .como já sabemos que , vamos achar os valores da função para cada ponto :
Temos que o ponto inicial é e nesse instante o ponto é:
E a função nesse ponto é:
Agora temos que o ponto final é e nesse instante o ponto é:
E a função nesse ponto é:
Então:
Beleza! Agora sabemos que para um campo conservativo:
É isso! O valor de :