Calcule a integral de linha, onde C é a curva dada.

∫ C y + z d x + x + z d y + x + y d z

C consiste nos segmentos de reta de ( 0,0 , 0 ) a ( 1,0 , 1 ) e de ( 1,0 , 1 ) a ( 0,1 , 2 )

Passo 1

E aí, pessoal! Como estão?

A questão pede o valor da nossa integral de linha:

∫ C y + z d x + x + z d y + x + y d z

Sob a curva C em que C consiste nos segmentos de reta de ( 0,0 , 0 ) a ( 1,0 , 1 ) e de ( 1,0 , 1 ) a ( 0,1 , 2 )

Uma integral de linha é como uma integral convencional que ao invés de integrarmos sobre um intervalo, vamos integrar sobre uma curva C .

Para resolvermos essas integrais, precisamos parametrizar nossos valores de x , y , z , d x ,   d y e d z em função de t . Depois, é só substituirmos na nossa integral e calcularmos normalmente seu valor. x t e y t são equações paramétricas da nossa linha C .

Então, nossa resolução será feita primeiro encontrando as equações paramétricas x t e y t que iremos usar. Como temos uma reta no espaço podemos usar a parametrização:

r t = P 1 + t P 2 - P 1

Como nosso segmento é dividido em duas retas diferentes, vamos calcular a nossa integral em C 1 e C 2 , daí conseguimos o valor da linha total C .

Vem comigo!

Passo 2

Vamos parametrizar nossas curvas C 1 e C 2 . Usando então a parametrização da reta no espaço, temos que para x y teremos:

r t = P 1 + t P 2 - P 1

  • Para curva C 1 : reta de P 1 = ( 0,0 , 0 ) a P 2 = ( 1,0 , 1 ) .
  • r t = 0,0 , 0 + t 1,0 , 1 - 0,0 , 0

    Subtraindo as coordenadas:

    r t = 0,0 , 0 + t 1,0 , 1

    Somando finalmente, temos:

    r 1 t = ( t , 0 , t )

    Então temos para C 1 os parâmetros:

    x = t

    y = 0

    z = t

    E suas derivadas são:

    d x = d t

    d y = 0

    d z = d t

  • Para a curva C 2 : reta de P 1 = ( 1,0 , 1 ) a P 2 = ( 0,1 , 2 )

r t = 1,0 , 1 + t 0,1 , 2 - 1,0 , 1

Subtraindo as coordenadas:

t = 1,0 , 1 + t - 1,1 , 1

Somando finalmente, temos:

r 2 t = ( 1 - t , t , 1 + t )

Então temos para C 2 os parâmetros:

x = 1 - t

y = t

z = 1 + t

E suas derivadas são:

d x = - d t

d y = d t

d z = d t

Quanto temos um segmento de reta parametrizado em t , nossa variação é 0 ≤ t ≤ 1 .

Passo 3

Substituindo os valores encontrados, temos:

∫ C 1 t   d t + 2 t 0 + t d t + ∫ C 2 t + 1 + t - d t + 1 - t + 1 + t d t + 1 - t + t d t

Simplificando:

∫ C 1 2 t   d t + ∫ C 2 - 2 t + 1 d t + 2 d t + d t

Vamos resolver cada integral separadamente: Para a primeira curva temos

∫ C 1 2 t   d t = t 2 = 1

Para a segunda curva temos

∫ C 2 - 2 t + 1 d t + 2 d t + d t = ∫ C 2 2 - 2 t d t = 2 t - t 2 = 2 - 1 = 1

Logo temos que

∫ C y + z d x + x + z d y + x + y d z = 2

no intervalo sugerido.

Resposta

2

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