Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 7ª Edição - James Stewart- Ed: 7º - Capítulo 16.2 - Ex. 16
Calcule a integral de linha, onde é a curva dada.
consiste nos segmentos de reta de a e de a
Passo 1
E aí, pessoal! Como estão?
A questão pede o valor da nossa integral de linha:
Sob a curva em que consiste nos segmentos de reta de a e de a
Uma integral de linha é como uma integral convencional que ao invés de integrarmos sobre um intervalo, vamos integrar sobre uma curva .
Para resolvermos essas integrais, precisamos parametrizar nossos valores de , , , e em função de . Depois, é só substituirmos na nossa integral e calcularmos normalmente seu valor. e são equações paramétricas da nossa linha .
Então, nossa resolução será feita primeiro encontrando as equações paramétricas e que iremos usar. Como temos uma reta no espaço podemos usar a parametrização:
Como nosso segmento é dividido em duas retas diferentes, vamos calcular a nossa integral em e , daí conseguimos o valor da linha total .
Vem comigo!
Passo 2
Vamos parametrizar nossas curvas e . Usando então a parametrização da reta no espaço, temos que para teremos:
- Para curva : reta de a .
- Para a curva : reta de a
Subtraindo as coordenadas:
Somando finalmente, temos:
Então temos para os parâmetros:
E suas derivadas são:
Subtraindo as coordenadas:
Somando finalmente, temos:
Então temos para os parâmetros:
E suas derivadas são:
Quanto temos um segmento de reta parametrizado em , nossa variação é .
Passo 3
Substituindo os valores encontrados, temos:
Simplificando:
Vamos resolver cada integral separadamente: Para a primeira curva temos
Para a segunda curva temos
Logo temos que
no intervalo sugerido.