Se é uma curva suave dada por uma função vetorial , mostre que
Passo 1
Fala, gente bonita!
A questão quer a demonstração de que, se é uma curva suave dada por uma função vetorial , definida por então
Para resolvermos esse exercício, vamos precisar manipular a definição de integral para que possamos chegar na definição pedida pelo exercício. Belê?
Passo 2
Temos que a definição da integral de linha é dada por
O exercício nos dá qual é nossa curva . Precisamos calcular sua derivada para resolvermos a integral.
Supondo , temos que sua derivada será
Assim, substituindo na integral, temos que
Organizando,
Passo 3
Por definição,
Assim, aplicando a regra da cadeia, temos que a integral pode ser simplificada, ficando como
Mas temos que
O mesmo ocorre para
Assim, temos que