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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 7ª Edição - James Stewart- Ed: 7º - Capítulo 16.2 - Ex. 50

Se C é uma curva suave dada por uma função vetorial r t ,   a ≤ t ≤ b , mostre que

∫ C r ⋅ d r = 1 2 r b 2 - r a 2  

Passo 1

Fala, gente bonita!

A questão quer a demonstração de que, se C é uma curva suave dada por uma função vetorial r t , definida por a ≤ t ≤ b , então

∫ C r ⋅ d r = 1 2 r b 2 - r a 2

Para resolvermos esse exercício, vamos precisar manipular a definição de integral para que possamos chegar na definição pedida pelo exercício. Belê?

Passo 2

Temos que a definição da integral de linha é dada por

W = ∫ C F → ⋅ d r →

∫ a b F → r → t ⋅ r → ' t ⋅ d t

O exercício nos dá qual é nossa curva C . Precisamos calcular sua derivada para resolvermos a integral.

Supondo r → t = x t ⋅ i → + y t ⋅ j → + z t ⋅ k → , temos que sua derivada será

r → ' t = x ' t ⋅ i → + y ' t ⋅ j → + z ' t ⋅ k →

Assim, substituindo na integral, temos que

∫ a b r → ⋅ d r → = x t ⋅ i → + y t ⋅ j → + z t ⋅ k → ⋅ x ' t ⋅ i → + y ' t ⋅ j → + z ' t ⋅ k → d t

Organizando,

∫ a b x ⋅ x ' + y ⋅ y ' + z ⋅ z ' ⋅ d t

Passo 3

Por definição,

x ' t = d x d t

Assim, aplicando a regra da cadeia, temos que a integral pode ser simplificada, ficando como

∫ a b x t ⋅ d x + y t ⋅ d y + z t ⋅ d z

1 2 ⋅ x 2 t + 1 2 ⋅ y 2 t + 1 2 ⋅ z 2 t b a

= 1 2 ⋅ x 2 b - x 2 a + y 2 b - y 2 a + z 2 b - z 2 a

Mas temos que

r → a 2 = x 2 a + y 2 a + z 2 a

O mesmo ocorre para

r → b 2

Assim, temos que

∫ a b r → ⋅ d r → = 1 2 ⋅ r → b 2 - r → a 2

Resposta

∫ a b r → ⋅ d r → = 1 2 ⋅ r → b 2 - r → a 2

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