Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 7ª Edição - James Stewart- Ed: 7º - Capítulo 16.2 - Ex. 49
Se é uma curva suave dada por uma função vetorial , , e é um vetor constante, mostre que
Passo 1
E aiii turma, beleza? Bora lá!
Precisamos fazer a seguinte demonstração:
Dado que é uma curva suave dada por uma função vetorial , , e é um vetor constante.
Essa questão é puramente dedução.
E para podermos fazer essa dedução, vamos definir que:
Lembre-se que é constante.
Definir que é:
Logo, derivando em relação a temos:
Isolando , vamos ter:
Agora é só substituir na integral e ir resolvendo.
Vamos lá!!
Passo 2
Vamos começar substituindo na integral os valores de:
Substituindo temos:
Aplicando o produto escalar vamos ficar com:
Repare que podemos cortar o , vamos ficar com:
Passo 3
Para resolver essa integral, podemos separara da seguinte forma:
Mas lembre-se que são constantes, conforme o enunciado nos informou.
Dessa, forma integrando temos:
Aplicando os limites de integração ficamos com:
Observe que podemos reescrever isso como o seguinte produto escalar:
E os termos que estão em função de e , podemos reescrever como a seguinte subtração de vetores:
Passo 4
Lembra que definimos nosso vetor como:
E nosso vetor constante como:
E sabemos que:
Agora quero que você compare bem. Perceba que podemos reescrever essa expressão:
Da seguinte forma:
Viu só, concluímos a demonstração!! Não foi tão difícil assim!
Resposta
Demonstração