Se C é uma curva suave dada por uma função vetorial r → ( t ) , a ≤ t ≤ b , e v → é um vetor constante, mostre que ∫ C v → ⋅ d r → = v → ⋅ r → b - r → a

Enunciado

E aiii turma, beleza? Bora lá!

Precisamos fazer a seguinte demonstração:

Dado que é uma curva suave dada por uma função vetorial , , e é um vetor constante.

Essa questão é puramente dedução.

E para podermos fazer essa dedução, vamos definir que:

Lembre-se que é constante.

Definir que é:

Logo, derivando em relação a temos:

Isolando , vamos ter:

Agora é só substituir na integral e ir resolvendo.

Vamos lá!!

Vamos começar substituindo na integral os valores de:

Substituindo temos:

Aplicando o produto escalar vamos ficar com:

Repare que podemos cortar o , vamos ficar com:

Para resolver essa integral, podemos separara da seguinte forma:

Mas lembre-se que são constantes, conforme o enunciado nos informou.

Dessa, forma integrando temos:

Aplicando os limites de integração ficamos com:

Observe que podemos reescrever isso como o seguinte produto escalar:

E os termos que estão em função de e , podemos reescrever como a seguinte subtração de vetores:

Lembra que definimos nosso vetor como:

E nosso vetor constante como:

E sabemos que:

Agora quero que você compare bem. Perceba que podemos reescrever essa expressão:

Da seguinte forma:

Viu só, concluímos a demonstração!! Não foi tão difícil assim!

Demonstração