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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 16.2 - Ex. 16

Calcule o valor da integral de linha, onde C é a curva dada.

∫ C ( y + z )   d x + ( x + z ) d y + ( x + y ) d z

C é o segmento de linha de ( 0,0 , 0 ) até ( 1,0 , 1 ) e de ( 1,0 , 1 ) até ( 0,1 , 2 ) .

Passo 1

Oi, pessoal! Tudo namoral?

Então, nessa questão precisamos calcular o valor da integral de linha

∫ C ( y + z )   d x + ( x + z ) d y + ( x + y ) d z

Onde temos informações sobre a região C , que é segmentado por uma linha que vai de ( 0,0 , 0 ) até ( 1,0 , 1 ) e de ( 1,0 , 1 ) até ( 0,1 , 2 ) .

Para resolver essa questão, iremos encontrar a equação paramétrica do segmento de duas retas (já que para resolver integrais de linha precisamos usar t como parâmetro), achar os limites de integração e organizar tudo para o cálculo. Simbora?

Passo 2

Primeiro, vamos representar esses pontos como vetores:

Vamos chamar os pontos de

P = 0 ,   0 ,   0

Q = 1,0 , 1

R = ( 0,1 , 2 )

Assim, temos nosso primeiro vetor

P Q → = 1,0 , 1 - 0,0 , 0 = ( 1 ,   0 ,   1 )

Já o segundo

Q R → = 0,1 , 2 - 1,0 , 1 = ( - 1,1 , 1 )

Agora precisamos encontrar a equação paramétrica dessas retas, dadas pela fórmula

r : x ,   y ,   z = x 1 ,   y 1 ,   z 1 + t ( a ,   b ,   c )

Assim, vamos chamar a primeira reta de C 1 e a segunda de C 2 .

Para C 1 , escolhemos um dos pontos e fazemos

r ( C 1 ) : x ,   y ,   z = 0 ,   0 ,   0 + t ( 1 ,   0 ,   1 )

r ( C 1 ) : ( t ,   0 , t )

Já para C 2 :

r ( C 2 ) : x ,   y ,   z = 1 ,   0 ,   1 + t ( - 1 ,   1 ,   1 )

r ( C 2 ) : ( 1 - t , t , 1 + t )

Passo 3

Como parametrizamos os segmentos de linha dados no enunciado, temos:

C 1 → x = t ,   y = 0 ,   z = t ,     0 ≤ t ≤ 1

C 2 → x = 1 - t ,   y = t ,   z = 1 + t ,     0 ≤ t ≤ 1

Vamos calcular o valor das derivadas em relação a t , sendo assim:

C 1 → d x d t = 1 ,   d y d t = 0 ,   d z d t = 1

C 2 → d x d t = - 1 ,   d y d t = 1 ,   d z d t = 1

Agora, substituindo o valor das expressões, temos:

∫ 0 1 0 + t d t + t + t ⋅ 0 + t + 0 d t

+ ∫ 0 1 t + 1 + t - d t + 1 - t + 1 + t d t + 1 - t + t d t

Reagrupando os termos e colocando d t em evidência nas duas integrais, temos:

∫ 0 1 2 t d t + ∫ 0 1 - 2 t + 2 d t

Como as integrais possuem o mesmo intervalo, podemos juntá-las em uma só integral:

∫ 0 1 2 t - 2 t + 2 d t = ∫ 0 1 2   d t

Passo 4

Agora, resolvendo a integral para t , temos:

∫ 0 1 2   d t

2 t 0 1 = 2 ( 1 ) - 0 = 2

Resposta

∫ C ( y + z )   d x + ( x + z ) d y + ( x + y ) d z = 2

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