Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 5ª Edição - James Stewart- Ed: 5º - Capítulo 16.7 - Ex. 5
Calcule a integral de superfície.
é a parte do plano que está acima do retângulo .
Passo 1
E aiiii galera, beleza!?
Devemos calcular a integral de superfície:
Onde, é: parte do plano que está acima do retângulo .
Vamos lembrar como podemos escrever a integral de superfície:
Onde, .
A função é:
Repare que ele deu a variação que devemos avaliar a superfície , que é exatamente o retângulo:
Observe que só precisamos calcular as derivadas de em relação a e , e substituir os demais termos.
Para os limites de integração, já vimos acima que é a região do retângulo.
Então, agora vamos montar nossa integral e resolvê-la.
Bora colocar mão na massa!
Passo 2
Vamos começar organizando a integral:
Com, .
Nossa expressão é:
Vamos obter as derivadas:
Agora é só substituir tudo na integral, desse jeito:
Mas repare que devemos substituir também, devemos ficar com a integral apenas em função de duas variáveis, que no nessa situação é e .
Já vamos colocar os limites de integração também. Como vimos antes, eles são delimitados pelo retângulo:
Vai ficar assim:
Simplificando um pouco, temos:
Passo 3
Agora pessoal, vamos começar a integrar. Lembra que começamos de dentro para fora.
Integrando em vamos ter:
Aplicando os limites de integração, ficamos com:
Agora, vamos integrar em . Integrando, temos:
Aplicando os limites de integração, temos:
Portanto, a nossa resposta é: