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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 16.2 - Ex. 33

Um arame fino é entortado no formato da semicircunferência x 2 + y 2 = 4   ,     x ≥ 0   . Se a densidade linear for uma constante k , determine a massa e o centro de massa do arame.

Passo 1

E aí, gente!

Nessa questão, temos um arame que é entortado no formato de uma semicircunferência:

x 2 + y 2 = 4   ,     x ≥ 0

Precisamos descobrir a massa e o centro de massa desse arame quando a desindade linear for uma constante k , ou seja

ρ x ,   y = k

Belezinha?

Para essas questões, iremos trabalhar com fórmulas de integrais de linhas, e consequentemente, parametrizar algumas equações. Podemos dizer que estaremos trabalhando com coordenadas cilíndricas por conta da semicircunferência. Suas fórmulas são:

x = r c o s θ

y = r s e n θ

z = z

r 2 = x 2 + y 2

Passo 2

Vamos começar calculando a massa através dessa integral de linha aqui:

m = ∫ C ρ x ,   y d s

Onde d s seria essa fórmula daqui, com derivadas parciais:

d s = d x d t 2 + d y d t 2

Primeiro precisamos parametrizar tudo pra região C , por isso temos

x = 2 cos ⁡ t   ,       y = 2   s e n   t  

E como estamos numa região de semicircunferência, então os limites de integração são:

        - π 2 ≤ t ≤ π 2

Vamos começar calculando as derivadas parciais para jogar na fórmula:

d x d t 2 cos ⁡ t → - 2   s e n   t

d y d t 2   s e n   t → 2 cos ⁡ t  

Assim, teremos na fórmula...

  d s = - 2   s e n   t 2 + 2 cos ⁡ t 2   d t = 2   d t

Então a integral vai ficar assim:

m = ∫ - π 2 π 2 2 k d t

2 k t - π 2 π 2

Substituindo a região de integração...

2 k π 2 - - π 2 = 2 k π

Passo 3

Show! Agora vamos calcular o centro de massa.

Para isso, temos o cálculo as coordenadas x e y , de acordo com essas fórmulas aqui:

x C M = 1 m ∫ C x   k d s

y C M = 1 m ∫ C y   k d s

A massa já temos do passo anterior, então faremos para cada coordenada:

x C M = 1 m ∫ C x   k d s

Substituindo com todas as informações que nos deram:

1 2 k π ∫ - π 2 π 2 2 cos ⁡ t k 2 d t

Jogando 2 k   para fora da integral como se fosse uma constante e calculando, teremos:

2 π s e n   t - π 2 π 2

Substituindo os limites de integração, chegaremos a

2 π 1 - - 1 = 4 π

E para a próxima coordenada, fazemos exatamente os mesmos detalhes:

y C M = 1 m ∫ C y   k d s

1 2 k π ∫ - π 2 π 2 2   s e n   t k   2   d t

2 π - cos ⁡ t - π 2 π 2 = 2 π 0 + 0 = 0

Ou seja, no final das contas teremos o centro de massa definido por

4 π ,   0

Show de bola! 😉

Resposta

m = 2 k π

4 π ,   0

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Calcule a integral de linha, onde C é a curva dada. ∫ C x 2 zd s C é o segmento de reta de ( 0 ,6 ,- 1 ) a ( 4 ,1 ,5 ) .
Calcule a integral de linha, onde C é a curva dada. ∫ C y e xd s C é o segmento de reta que liga ( 1 ,2 ) a ( 4 ,7 ) .
Calcule a integral de linha, onde C é a curva dada. ∫ C ( x y + ln ⁡ x )d s C é o arco de parábola y = x 2 de ( 1 ,1 ) a ( 3 ,9 ) .
Calcule a integral de linha ∫ C F → ⋅ d r → , onde C é dada pela função vetorial r → ( t ) . F → x , y = x 2 y 3 i ^ - y x j ^ , r → t = t 2 i ^ - t 3 j ^ , 0 ≤ t ≤ 1
Calcule a integral de linha, onde C é a curva dada. ∫ C x e yd s C é o arco de curva x = e y de ( 1 ,0 ) a ( e ,1 ) .