Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 16.2 - Ex. 33
Um arame fino é entortado no formato da semicircunferência Se a densidade linear for uma constante , determine a massa e o centro de massa do arame.
Passo 1
E aí, gente!
Nessa questão, temos um arame que é entortado no formato de uma semicircunferência:
Precisamos descobrir a massa e o centro de massa desse arame quando a desindade linear for uma constante , ou seja
Belezinha?
Para essas questões, iremos trabalhar com fórmulas de integrais de linhas, e consequentemente, parametrizar algumas equações. Podemos dizer que estaremos trabalhando com coordenadas cilíndricas por conta da semicircunferência. Suas fórmulas são:
Passo 2
Vamos começar calculando a massa através dessa integral de linha aqui:
Onde seria essa fórmula daqui, com derivadas parciais:
Primeiro precisamos parametrizar tudo pra região , por isso temos
E como estamos numa região de semicircunferência, então os limites de integração são:
Vamos começar calculando as derivadas parciais para jogar na fórmula:
Assim, teremos na fórmula...
Então a integral vai ficar assim:
Substituindo a região de integração...
Passo 3
Show! Agora vamos calcular o centro de massa.
Para isso, temos o cálculo as coordenadas e , de acordo com essas fórmulas aqui:
A massa já temos do passo anterior, então faremos para cada coordenada:
Substituindo com todas as informações que nos deram:
Jogando para fora da integral como se fosse uma constante e calculando, teremos:
Substituindo os limites de integração, chegaremos a
E para a próxima coordenada, fazemos exatamente os mesmos detalhes:
Ou seja, no final das contas teremos o centro de massa definido por
Show de bola! 😉