Resolva o problema de valor inicial

dy/dt = e^t * sen(e^t - 2)

y(ln(2)) = 0

Passo 1

Calma, muita calma nessa hora! Não se assustem com a questão. Em outras palavras ela nos pede para resolver uma equação diferencial ordinária (EDO). Apesar deste tópico não ter sido estudado ainda, podemos resolver a questão com o que já aprendemos. O procedimento é o seguinte: vamos separa os diferenciais d y e d t , deixando cada um deles em um membro. Vejamos um exemplo abaixo.

(d y)/(d t) = (f ( t ))/(g ( y ))

g (y) d y = f (t) d t

Se g (y) = 1 , basta que nós integremos ambos os membros para descobrir o valor de y . Isto é:

y (t) = int f (t) d t

E consequentemente,

y (t) = F (t) + k

A questão do valor inicial é para descobrir quem é o nosso k .

Passo 2

Vejamos abaixo a EDO que devemos resolver.

(d y)/(d t) = e^t sen (e^t - 2)

Vamos separar os diferenciais. Desta forma, temos:

d y = e^t sen ( e^t - 2 ) d t

Vamos mudar as variáveis agora. Chamando u = e^t - 2 , consequentemente, d u = e^t d t . Portanto, escrevemos a equação acima da seguinte forma:

d y = sen u d u

Integrando ambos os lados, obtemos:

int d y = int sen u d u

y = - cos u + k

Voltando para a variável inicial, temos:

y = - cos (e^t - 2) + k

E assim conseguimos resolver a EDO!

Passo 3

Agora que resolvemos a EDO, nós já finalizamos a questão? A resposta para esta pergunta é bem simples: Não! Ainda não resolvemos o problema de valor inicial. Para isto, basta substituir no lugar de t = ln 2 , e com isto obtemos y = 0 . Temos então:

y (ln 2) = - cos (e^(ln 2) - 2) + k = 0

- cos (2 - 2) + k = 0

- 1 + k = 0

k = 1

Portanto, a nossa solução é:

y = - cos (e^t - 2) + 1

Resposta

y = - cos (e^t - 2) + 1

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