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Enunciado

Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 9.Revisão - Ex. 40

Nos exercícios de 1 a 62, calcule a integral indefinida.

40 . ∫ 1 1 - x + 3 x 2 d x

Passo 1

Para resolver essa integral, primeiro vamos mexer no argumento da raiz, no caso vamos completar quadrados.

1 - x + 3 x 2 = 3 x 2 - x + 1 12 + 11 12 = 3 x - 1 6 2 + 11 12

Logo, nossa integral fica:

∫ 1 3 x - 1 6 2 + 11 12 d x

Passo 2

Agora vamos fazer uma substituição para prosseguir na resolução.

u = x - 1 6

d u = d x

Temos:

∫ 1 3 u 2 + 11 12 d u

Passo 3

Agora para simplificar ainda mais nossa integral, vamos multiplicar encima e embaixo por 12 .

∫ 1 3 u 2 + 11 12 d u = ∫ 12 36 u 2 + 11 d u

= ∫ 2 3 36 u 2 + 11 d u

Passo 4

Agora vamos aplicar outra substituição que vai nos ajudar mais ainda.

u = 11 6 ⋅ t g v

d u = 11 6 ⋅ sec 2 ⁡ v

Nossa querida integral fica da forma:

2 3 ∫ 1 36 u 2 + 11 d u = 2 3 ∫ 11 6 ⋅ sec 2 ⁡ v 11 t g 2 v + 11   d v

= 2 3 ⋅ 11 6 ∫ sec 2 ⁡ v 11 t g 2 v + 11   d v

= 2 3 ⋅ 11 6 ∫ sec 2 ⁡ v 11 t g 2 v + 1   d v

Passo 5

Agora lembrando de uma velha identidade trigonométrica conhecida.

t g 2 x = sec 2 ⁡ x - 1

Aplicando-a na integral.

2 3 ⋅ 11 6 ∫ sec 2 ⁡ v 11 t g 2 v + 1   d v = 2 3 ⋅ 11 6 ∫ sec 2 ⁡ v 11 sec 2 ⁡ v - 1 + 1   d v

= 2 3 ⋅ 11 6 ∫ sec 2 ⁡ v 11 sec 2 ⁡ v   d v

= 2 3 ⋅ 11 6 ∫ sec 2 ⁡ v 11 sec ⁡ v   d v

= 2 3 ⋅ 11 6 ∫ sec ⁡ v 11   d v

2 3 ⋅ 11 6 ⋅ 1 11 ∫ sec ⁡ v d v

Passo 6

Agora vamos mexer na nossa caixinha de integrais que tecnicamente deveríamos saber e descobrir que:

∫ sec ⁡ x = ln ⁡ | t g   x + sec ⁡ x |

Assim temos da nossa integral que:

2 3 ⋅ 11 6 ⋅ 1 11 ∫ sec ⁡ v d v = 2 3 6 ⋅ ln ⁡ | t g   v + sec ⁡ v |

Passo 7

Agora para encontrarmos o resultado final, basta retornar as substituições feitas e chegar na variável original.

1º

u = 11 6 ⋅ t g v ⇒ v = a r c t g 6 u 11

2 3 6 ⋅ ln ⁡ | t g   v + sec ⁡ v | = 2 3 6 ⋅ ln ⁡ | t g   a r c t g 6 u 11 + sec ⁡ a r c t g 6 u 11 |

2º

u = x - 1 6

2 3 6 ⋅ ln ⁡ | t g   a r c t g 6 11 x - 1 6 + sec ⁡ a r c t g 6 11 x - 1 6 |

Como a r c t g   x é a função inversa de t g   x temos a seguinte relação

t g a r c t g   x = x = a r c t g ( t g   x ) )

Ou seja:

2 3 6 ⋅ ln ⁡ | t g   a r c t g 6 11 x - 1 6 + sec ⁡ a r c t g 6 11 x - 1 6 |

= 3 3 ⋅ ln ⁡ | 6 11 x - 1 6 + sec ⁡ a r c t g 6 11 x - 1 6 |

= 3 3 ⋅ ln ⁡ | 6 x 11 - 1 11 + sec ⁡ a r c t g 6 11 x - 1 6 |

Resposta

∫ 1 1 - x + 3 x 2 d x = 3 3 ⋅ ln ⁡ | 6 x 11 - 1 11 + sec ⁡ a r c t g 6 11 x - 1 6 |

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