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Enunciado

Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 9.Revisão - Ex. 44

Nos exercícios de 1 a 62, calcule a integral indefinida.

44 . ∫ 1 5 + 4 cos ⁡ 2 x   d x

Passo 1

Essa integral ela não é nem um pouco amigável, para resolve – lá precisamos mudar de variável, mas para realizar a substituição teremos que mexer bastante nela. Vamos – lá:

u = t g   x 3

d u = sec 2 ⁡ x 3 d x ⇒ 3 d u sec 2 ⁡ x = d x

Você deve estar se perguntando onde tá essa tangente para realizarmos a substituição, mas calma, ela vai aparecer.

Passo 2

Vamos substituir por enquanto apenas o d x em nossa integral, logo ficamos com:

∫ 1 5 + 4 cos ⁡ 2 x   d x = ∫ 3 5 + 4 cos ⁡ 2 x   d u sec 2 ⁡ x

Agora, lembrando que:

cos ⁡ 2 x = cos 2 ⁡ x - s e n 2 x

Substituindo na integral:

∫ 3 5 + 4 cos 2 ⁡ x - s e n 2 x   d u sec 2 ⁡ x = ∫ 3 5 sec 2 ⁡ x + 4 cos 2 ⁡ x ⋅ sec 2 ⁡ x - 4 s e n 2 x ⋅ sec 2 ⁡ x d u

Passo 3

Agora vamos lembrar que:

sec 2 ⁡ x = 1 cos 2 ⁡ x

Então:

cos 2 ⁡ x ⋅ sec 2 ⁡ x = cos 2 ⁡ x ⋅ 1 cos 2 ⁡ x = 1

s e n 2 x ⋅ sec 2 ⁡ x = s e n 2 x ⋅ 1 cos 2 ⁡ x = t g 2 x

Passo 4

Substituindo isso na integral do passo 2, ficamos com:

∫ 3 5 sec 2 ⁡ x + 4 cos 2 ⁡ x ⋅ sec 2 ⁡ x - 4 s e n 2 x ⋅ sec 2 ⁡ x d u = ∫ 3 5 sec 2 ⁡ x + 4 - 4 t g 2 x d u

Agora vamos lembrar mais uma coisa:

sec 2 ⁡ x = t g 2 x + 1

Então nossa integral toma a forma de:

∫ 3 5 sec 2 ⁡ x + 4 - 4 t g 2 x d u = ∫ 3 5 t g 2 x + 1 ⁡ + 4 - 4 t g 2 x d u

= ∫ 3 5 t g 2 x + 5 + 4 - 4 t g 2 x d u

= ∫ 3 t g 2 x + 9 d u

= ∫ 1 9 ⋅ 3 t g 2 x 9 + 1 d u

= ∫ 1 3 ⋅ 1 t g 2 x 9 + 1 d u

∫ 1 3 ⋅ 1 t g x 3 2 + 1 d u

Passo 5

Agora conseguimos achar a tangente que tanto queríamos, agora só fazer a substituição:

u = t g   x 3

Temos então que:

∫ 1 3 ⋅ 1 t g x 3 2 + 1 d u = 1 3 ∫ 1 u 2 + 1 d u

Passo 6

Agora temos que mexer na nossa caixinha de integrais tabeladas e lembrar que:

∫ 1 x 2 + 1 = a r c t g x

Então nossa integral tem como resultado

1 3 ∫ 1 u 2 + 1 d u = 1 3 a r c t g   u

Passo 7

Agora para encontramos o resultado final precisamos voltar a variável original.

u = t g   x 3

1 3 a r c t g   u = 1 3 a r c t g t g x 3

Resposta

Escrever só a resposta aqui quando o problema tiver resposta

∫ 1 5 + 4 cos ⁡ 2 x   d x = 1 3 a r c t g t g x 3 + c

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