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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 1 - 5ª Edição - James Stewart- Ed: 5º - Capítulo 5.4 - Ex. 32

Calcule a integral

int_((pi)/(4))^((pi)/(3)) sec (theta) t g (theta) d theta

Passo 1

A integral que ele nos pede para calcular é a seguinte:

I = int_((pi)/(4))^((pi)/(3)) sec (theta) t g (theta) d theta

Passo 2

Nesse caso, temos que lembrar do seguinte:

int sec (x) t g (x) d x = s e c ( x ) + C

Então nossa integral fica:

I = [s e c (x)]_((pi)/(4))^((pi)/(3))

Logo,

I = sec ((pi)/(3)) - sec ((pi)/(4))

Como sec (theta) = (1)/(cos (theta)) :

I = (1)/(cos ((pi)/(3))) - (1)/(cos ((pi)/(4)))

Isto é,

I = (1)/((1)/(2)) - (1)/((sqrt(2))/(2))

Logo,

I = (2 sqrt(2) - 2)/(sqrt(2)) -> I = (4 - 2 sqrt(2))/(2)

Agora é só simplificar e correr pro abraço:

I = 2 - sqrt(2)

Resposta

2 - sqrt(2)

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