Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 1 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 5.4 - Ex. 23
Calcule a integral.
Passo 1
Opa! Bora pra mais uma questão?! Aqui precisamos calcular a seguinte integral:
Para conseguir resolve-la vamos usar uma propriedade das integrais, aquela q diz assim: a integral da soma é a soma das integrais, ou seja:
Então, primeiro vamos separar essa integral na soma de 3 integrais.
Outra propriedade que usaremos é de que uma constante multiplicativa pode ser colocada para fora da integral, assim:
e depois iremos de fato integrar.
Mas como faremos isso??
Temos uma função polinomial, então a sua primitiva de cada termo será:
Que é exatamente o contrário da derivada.
Mas como temos uma integral definida, precisamos avalia-la para os limites, e é pra isso que usamos o TFC (Teorema Fundamental do Cálculo), que diz o seguinte:
Que a integral definida é tipo medir a área sob a curva de entre dois pontos, digamos e . É como calcular o espaço que a função ocupa no gráfico.
Aqui vem o truque! Se você conhece uma antiderivada de , a integral definida de entre e é igual a . Ou seja, a diferença entre os valores da antiderivada nos pontos e .
Fica dessa forma:
Isso somente se entre e a função for contínua, isso é sem buracos, saltos ou quinas.
Vamos colocar a mão na massa?
Passo 2
Agora vamos resolver a integral, primeiro separar:
Duas coisas importantes neste passo, observe que foi distribuído em cada integral, essa é uma notação bem importante! A outra é que os limites de integração de todas as integrais permanecem o mesmo! Ok? Agora podemos continuar.
Colocando as constantes para fora:
E integrando cada uma:
Agora aplicando os limites, neste caso e , então:
E aqui toma bastante cuidado com os sinais, eu sei que parece exagero, mas sempre tem um aluno que erra essa parte por desatenção!
Prontinho, temos:
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