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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 1 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 5.4 - Ex. 23

Calcule a integral.

∫ - 2 0 1 2 t 4 + 1 4 t 3 - t d t

Passo 1

Opa! Bora pra mais uma questão?! Aqui precisamos calcular a seguinte integral:

∫ - 2 0 1 2 t 4 + 1 4 t 3 - t d t

Para conseguir resolve-la vamos usar uma propriedade das integrais, aquela q diz assim: a integral da soma é a soma das integrais, ou seja:

∫ f x + g x d x = ∫ f x d x + ∫ g x d x

Então, primeiro vamos separar essa integral na soma de 3 integrais.

Outra propriedade que usaremos é de que uma constante multiplicativa pode ser colocada para fora da integral, assim:

∫ c f x d x = c ∫ f x d x

e depois iremos de fato integrar.

Mas como faremos isso??

Temos uma função polinomial, então a sua primitiva de cada termo será:

x n + 1 n + 1

Que é exatamente o contrário da derivada.

Mas como temos uma integral definida, precisamos avalia-la para os limites, e é pra isso que usamos o TFC (Teorema Fundamental do Cálculo), que diz o seguinte:

Que a integral definida é tipo medir a área sob a curva de f ( x ) entre dois pontos, digamos a e b . É como calcular o espaço que a função ocupa no gráfico.

Aqui vem o truque! Se você conhece uma antiderivada F ( x ) de f ( x ) , a integral definida de f ( x ) entre a e b é igual a F ( b ) - F ( a ) . Ou seja, a diferença entre os valores da antiderivada nos pontos b e a .

Fica dessa forma:

∫ a b f x d x = F b - F a

Isso somente se entre a e b   a função for contínua, isso é sem buracos, saltos ou quinas.

Vamos colocar a mão na massa?

Passo 2

Agora vamos resolver a integral, primeiro separar:

∫ - 2 0 1 2 t 4 + 1 4 t 3 - t d t = ∫ - 2 0 1 2 t 4 d t + ∫ - 2 0 1 4 t 3 d t + ∫ - 2 0 ( - t ) d t

Duas coisas importantes neste passo, observe que d t foi distribuído em cada integral, essa é uma notação bem importante! A outra é que os limites de integração de todas as integrais permanecem o mesmo! Ok? Agora podemos continuar.

Colocando as constantes para fora:

∫ - 2 0 1 2 t 4 + 1 4 t 3 - t d t = 1 2 ∫ - 2 0 t 4 d t + 1 4 ∫ - 2 0 t 3 d t - ∫ - 2 0 t d t

E integrando cada uma:

∫ - 2 0 1 2 t 4 + 1 4 t 3 - t d t = 1 2 t 5 5 - 2 0 + 1 4 t 4 4 - 2 0 - t 2 2 - 2 0

Agora aplicando os limites, neste caso a = - 2 e b - 0 , então:

F b - F a

1 2 0 5 5 + 1 4 0 4 4 - 0 2 2 - 1 2 - 2 5 5 + 1 4 - 2 4 4 - - 2 2 2

E aqui toma bastante cuidado com os sinais, eu sei que parece exagero, mas sempre tem um aluno que erra essa parte por desatenção!

0 + 32 10 + 16 16 - 4 2 = 21 5

Prontinho, temos:

∫ - 2 0 1 2 t 4 + 1 4 t 3 - t d t = 21 5

Curtiu? Responde aí!

Resposta

∫ - 2 0 1 2 t 4 + 1 4 t 3 - t d t = 21 5

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