Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 1 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 5.3 - Ex. 65
Em que intervalo a curva
é côncava para baixo?
Passo 1
E aí! tudo certinho?
Nesse problema queremos determinar os intervalos onde a curva
É concava para baixo.
Tem ideia de como fazemos isso?
Uma função é concava para baixo quando .
Então temos que calcular a segunda derivada de e ver quais valores de faz .
A primeira derivada deve ser calculada usando a parte 1 do TFC:
Então .
Veja só!
Passo 2
Calculando a primeira derivada de , temos:
Como vimos no passo 1, pelo TFC:
Calculando agora a segunda derivada pela regra do quociente...
Aplicando a regra da potência...
Simplificando o numerador:
Tranquilo até aqui?
Passo 3
Com calculado, temos que analisar os valores de que fazem , que corresponde à concavidade para baixo.
O denominador é sempre positivo por conta do expoente par. Então se , apenas o numerador pode ser negativo.
Para que o produto seja negativo, precisamos que somente um deles seja negativo, ou seja,
- e
- e
De I)
Temos que e . O que corresponde ao intervalo
De II)
Temos que e , o que é impossível acontecer.
( Se não tiver enxergando, desenhe a reta e onde fica da um dos pontos, beleza ?)
Logo, a curva é côncava para baixo quando ; Isto é, no intervalo
É isso! O que achou? Responde Aí!