Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 1 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 5.3 - Ex. 68
Se e , encontre .
Passo 1
Bzlinha?
Temos duas funções a primeira é a integral de :
E também temos :
O problema quer que a gente encontre , que nada mais é que a segunda derivada de .
Para isso, primeiro vamos usar o TFC (teorema fundamental do cálculo), que nos dará a , e quando tivermos a em mãos, basta derivar novamente que teremos a !
Lembra do TFC? Não? Estamos aqui pra isso:
Ele basicamente diz que, se você tem uma integral com um limite variável, a derivada dessa integral é só a função que está dentro da integral, avaliada no limite superior. Bem simples, né? É tipo dizer que a derivada da integral é a própria função dentro dela, só que aplicada no ponto onde a integração termina. Fácil assim!
Vou montar o Frankestein só para ficar mais claro, o que temos é isso aqui:
Por isso, vamos aplicar o TFC duas vezes seguidas para encontrar nossa segunda derivada.
Passo 2
Já que precisamos da segunda derivada de então vamos derivar ué! Quem perde tempo é outro, noiizz naum!
Pelo Teorema fundamental do cálculo, nossa derivada é exatamente o que está dentro da integral, aplicada no limite superior (uma função):
Ou seja,
Reescrevendo,
Passo 3
Calculando a segunda derivada, pelo teorema fundamental do cálculo, ou seja, nossa derivada é o que está dentro da integral, aplicada ao limite superior da integral.
Neste passo é importante não esquecer da regra da cadeia:
Isto é,
Aplicando no ponto
Daí,
Tcharam! Temos nossa resposta:
