Calcule a integral.

∫ sec 2 ⁡ t i + t t 2 + 1 3 j + t 2 ln ⁡ t k d t

Passo 1

Oi pessoal, tudo bem? Vamos analisar essa questão.

Note que podemos escrever a integral do enunciado da seguinte maneira:

∫ sec 2 ⁡ t i + t t 2 + 1 3 j + t 2 ln ⁡ t k d t

= ∫ sec 2 ⁡ t d t i + ∫ t t 2 + 1 3 d t j + ∫ t 2 ln ⁡ t d t k

Passo 2

Calculando cada uma, temos:

∫ sec 2 ⁡ t d t i = tan ⁡ t i

Passo 3

Para a integral ∫ t t 2 + 1 3 d t j , temos que utilizar o método da substituição. Vamos chamar:

t 2 + 1 = u

Logo:

d u = 2 t d t

Substituindo, temos:

∫ t t 2 + 1 3 d t j = ∫ u 3 d u 2 j

Resolvendo, temos que:

∫ u 3 d u 2 j = 1 2 u 4 4

Substituindo pelo valor inicial, temos que:

∫ t t 2 + 1 3 d t j = 1 8 t 2 + 1 4 j

Passo 4

Para a integral ∫ t 2 ln ⁡ t d t k , temos que utilizar o método de integração por partes:

∫ u d v = u v - ∫ v d u

Para o nosso caso, temos que u = ln ⁡ t e d v = t 2 , logo:

d u = 1 t d t

v = ∫ t 2 d t

v = t 3 3

Portanto:

∫ t 2 ln ⁡ t d t k = ln ⁡ t ⋅ t 3 3 - ∫ t 3 3 1 t d t k

∫ t 2 ln ⁡ t d t k = t 3 3 ln ⁡ t - ∫ t 2 3 d t k

∫ t 2 ln ⁡ t d t k = t 3 3 ln ⁡ t - t 3 9 k

Passo 5

Logo, a nossa resposta para a integral será:

∫ sec 2 ⁡ t i + t t 2 + 1 3 j + t 2 ln ⁡ t k d t = tan ⁡ t i + 1 8 t 2 + 1 4 j + t 3 3 ln ⁡ t - t 3 9 k

Resposta

∫ sec 2 ⁡ t i + t t 2 + 1 3 j + t 2 ln ⁡ t k d t = tan ⁡ t i + 1 8 t 2 + 1 4 j + t 3 3 ln ⁡ t - t 3 9 k

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