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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 13.2 - Ex. 39

Calcule a integral.

int (sec^2 t i + t (t^2 + 1)^3 j + t^2 ln t k) d t

Passo 1

Oi pessoal, tudo bem? Vamos analisar essa questão.

Note que podemos escrever a integral do enunciado da seguinte maneira:

int (sec^2 t i + t (t^2 + 1)^3 j + t^2 ln t k) d t

= (int (sec^2 t) d t) i + (int (t (t^2 + 1)^3) d t) j + (int (t^2 ln t) d t) k

Passo 2

Calculando cada uma, temos:

(int (sec^2 t) d t) i = tan t i

Passo 3

Para a integral (int (t (t^2 + 1)^3) d t) j , temos que utilizar o método da substituição. Vamos chamar:

t^2 + 1 = u

Logo:

d u = 2 t d t

Substituindo, temos:

(int (t (t^2 + 1)^3) d t) j = ((int (u^3) d u)/(2)) j

Resolvendo, temos que:

((int (u^3) d u)/(2)) j = (1)/(2) ((u^4)/(4))

Substituindo pelo valor inicial, temos que:

(int (t (t^2 + 1)^3) d t) j = (1)/(8) (t^2 + 1)^4 j

Passo 4

Para a integral (int (t^2 ln t) d t) k , temos que utilizar o método de integração por partes:

int u d v = u v - int v d u

Para o nosso caso, temos que u = ln t e d v = t^2 , logo:

d u = (1)/(t) d t

v = int t^2 d t

v = (t^3)/(3)

Portanto:

(int (t^2 ln t) d t) k = [ln t * (t^3)/(3) - int (t^3)/(3) ((1)/(t)) d t] k

(int (t^2 ln t) d t) k = [(t^3)/(3) ln t - int (t^2)/(3) d t] k

(int (t^2 ln t) d t) k = [(t^3)/(3) ln t - (t^3)/(9)] k

Passo 5

Logo, a nossa resposta para a integral será:

int (sec^2 t i + t (t^2 + 1)^3 j + t^2 ln t k) d t = tan t i + (1)/(8) (t^2 + 1)^4 j + [(t^3)/(3) ln t - (t^3)/(9)] k

Resposta

int (sec^2 t i + t (t^2 + 1)^3 j + t^2 ln t k) d t = tan t i + (1)/(8) (t^2 + 1)^4 j + [(t^3)/(3) ln t - (t^3)/(9)] k

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