Enunciado

Calcule a integral.

∫ π 4 π 3 ( sec ⁡ θ - tg ⁡ θ )   d θ

Passo 1

Fala aí, tudo certinho com você?

Bom, essa questão pede pra gente encontrar a integral definida dada por:

∫ π 4 π 3 ( sec ⁡ θ - tg ⁡ θ )   d θ

Para isso, devemos calcular primeiro a integral indefinida para encontrar a primitiva e, depois, aplicar o Teorema Fundamental do Cálculo, que diz o seguinte:

Se f for contínua em a , b , então

∫ a b f x d x = F b - F a

Onde F é qualquer primitiva de f , isto é, uma função tal que F ' = f .

Ou seja, vamos resolver a integral, e como se trata de uma integral definida, devemos fazer a substituição dos limites de integração na função que encontramos e depois subtrair seus valores.

Passo 2

Bom pessoal , a primeira coisa que devemos fazer é separar as duas funções:

∫ π 4 π 3 sec ⁡ θ   d θ - ∫ π 4 π 3 tg ⁡ θ   d θ

Observe que essas não são integrais tão fáceis de serem calculadas, por isso seus valores são tabelados. Assim, vemos lembrar que :

∫ sec ⁡ θ   d θ = l n ⁡ tan ⁡ x + sec ⁡ x

e

∫ tan ⁡ θ d θ = l n sec ⁡ x

Passo 3

Logo, pelo Teorema fundamental do Cálculo, a integral definida, devemos fazer a substituição dos limites de integração na função que acabamos de encontrar. Assim, dizemos que:

∫ π 4 π 3 sec ⁡ θ d θ = ln ⁡ tan ⁡ x + sec ⁡ x π 3 π 4

E substituindo, teremos:

ln ⁡ tan ⁡ π 3 + sec ⁡ π 3 - ln ⁡ tan ⁡ π 4 + π 4

Assim, ficamos com:

ln ⁡ 2 + 3 - l n ⁡ ( 2 + 1 )

Já para a segunda integral, teremos:

∫ π 4 π 3 tg ⁡ θ   d θ = ln ⁡ sec ⁡ x π 3 π 4

E substituindo os limites, ficamos com:

ln ⁡ sec ⁡ π 3 - ln ⁡ sec ⁡ π 4

E teremos:

1 2 ln ⁡ 2

Logo, podemos juntar esses resultados e dizer que:

∫ π 4 π 3 ( sec ⁡ θ - tg ⁡ θ )   d θ = ln ⁡ 2 + 3 - ln ⁡ 2 + 1 - 1 2 ln ⁡ 2

Prontinho.

Resposta

∫ π 4 π 3 ( sec ⁡ θ - tg ⁡ θ )   d θ = ln ⁡ 2 + 3 - ln ⁡ 2 + 1 - 1 2 ln ⁡ 2

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