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Enunciado

Cálculo - Diva Flemming - Cálculo A- Ed: 6º - Capítulo 6.11 - Ex. 27

int_0^((pi)/(2)) s e n^2 x d x

Passo 1

Para resolver integral é de usma importância saber muito bem e já ter todas as relações trigonométricas no sangue

Para resolver essa questão vamos utilizar a fórmula do arco duplo

c o s 2 x = 1 - 2 s e n^2 x ⟹ s e n^2 x = (1)/(2) (1 - c o s 2 x)

Passo 2

Substituindo na nossa integral

int_0^((pi)/(2)) s e n^2 x d x = int_0^((pi)/(2)) (1)/(2) (1 - c o s 2 x) d x = (1)/(2) int_0^((pi)/(2)) (1 - c o s 2 x) d x

Usando uma propriedade importantíssima

int_b^a (f (x) + g ( x )) d x = int_b^a f ( x ) d x + int_b^a g ( x ) d x

(1)/(2) int_0^((pi)/(2)) (1 - c o s 2 x) d x = (1)/(2) int_0^((pi)/(2)) d x - (1)/(2) int_0^((pi)/(2)) c o s 2 x d x

(1)/(2) int_0^((pi)/(2)) (1 - c o s 2 x) d x = (1)/(2) (x - (1)/(2) s e n 2 x) (​|_0 -> (pi)/(2) = (pi)/(4)

Resposta

int_0^((pi)/(2)) s e n^2 x d x = (pi)/(4)

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