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Enunciado

Cálculo - Diva Flemming - Cálculo A- Ed: 6º - Capítulo 6.11 - Ex. 25

int_1^4 (d x)/(√ x (sqrt(x) + 1)^3)

Passo 1

Uma dica muito boa para integrais que tem fatores elevados a 1/2 é fazer uma substituição chamando o fator com a raíz de uma letra, por exemplo:

u = sqrt(x) + 1

Derivando com relação a x a equação acima

(d u)/(d x) = (d ( sqrt(x) + 1 ))/(d x) = (1)/(2 √ x) ⟹ d u = (1)/(2 √ x) d x

Passo 2

Substituindo na nossa integral

int_(x = 1)^(x = 4) 2 (d u)/(u^3) = 2 int_(x = 1)^(x = 4) u^(- 3) d u = - 2 (u^(- 2))/(2)

Passo 3

Retornando para nossa variável inicial

int_(x = 1)^(x = 4) (d u)/(u^3) = - u^(- 2) = - (sqrt(x) + 1)^(- 2) (​|_1 -> 4 = (5)/(36)

Resposta

int_1^4 (d x)/(√ x (sqrt(x) + 1)^3) = (5)/(36)

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