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Enunciado

Cálculo - Diva Flemming - Cálculo A- Ed: 6º - Capítulo 6.11 - Ex. 8c

Mostrar que:

int_(- pi)^(pi) s e n 5 x c o s 2 x d x = 0

Passo 1

Nesse tipo de questão na qual há um produto de funções trigonométricas uma boa dica é sempre pensar nas relações de transformação de produto em soma.

Como temos um produto de seno por cosseno, podemos nos lembrar que nas fórmulas de sen(a+b) e sen(a-b) aparece esse produto.

s e n (a + b) = s e n a c o s b + s e n b c o s a

s e n (a - b) = s e n a c o s b - s e n b c o s a

Passo 2

Seja a = 5 x e b = 2 x

s e n (7 x) = s e n 5 x c o s 2 x + s e n 2 x c o s 5 x

s e n (3 x) = s e n 5 x c o s 2 x - s e n 2 x c o s 5 x

Somando as duas equações acima:

(1)/(2) ( s e n (7 x) + s e n (3 x )) = s e n 5 x c o s 2 x

Passo 3

int_(- pi)^(pi) s e n 5 x c o s 2 x d x = int_(- pi)^(pi) (1)/(2) ( s e n (7 x) + s e n (3 x )) d x = (1)/(2) int_(- pi)^(pi) s e n 7 x d x + (1)/(2) int_(- pi)^(pi) s e n 3 x d x

(1)/(2) ((- c o s 7 pi)/(7) - (- cos (- 7 pi))/(7)) + (1)/(2) ((- c o s 3 pi)/(3) - (- cos (- 3 pi))/(3)) = 0

Resposta

(1)/(2) ((- c o s 7 pi)/(7) - (- cos (- 7 pi))/(7)) + (1)/(2) ((- c o s 3 pi)/(3) - (- cos (- 3 pi))/(3)) = 0

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