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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 1 - 6ª Edição - James Stewart- Ed: 6º - Capítulo 7.2 - Ex. 32

Calcule a integral

int tan^6 ( a y ) d y

Passo 1

As integrais trigonométricas são um pouco assustadoras, mas não há nada que treino não ajude a melhorar, vamos treinar resolvendo essa integral. Vamos fazer o seguinte,

int tan^6 (a y) d y = int tan^4 (a y) tan^2 ( a y ) d y

A gente precisa lembrar da seguinte propriedade trigonométrica: tan^2 ( a y ) + 1 = sec^2 ( a y )

Então, substituindo

int tan^4 (a y) tan^2 (a y) d y = int tan^4 (a y) (sec^2 (a y) - 1) d y = int tan^4 (a y) sec^2 (a y) d y - int tan^4 ( a y ) d y

Passo 2

Vamos calcular separadamente cada integral pra depois substituirmos.

Calculando a primeira integral

int tan^4 (a y) sec^2 (a y) d y

Seja u = t a n ( a y ) , temos que d u // a = sec^2 ( a y ) d y , então, substituindo

int tan^4 (a y) sec^2 (a y) d y = (1)/(a) int u^4 d u = (1)/(5 a) u^5 + c_1 = (1)/(5 a) tan (a y) + c_1

Calculando a segunda integral

int tan^4 (a y) d y = int tan^2 (a y) tan^2 (a y) d y = int tan^2 (a y) (sec^2 (a y) - 1) d y = int (tan^2 (a y) sec^2 (a y) - tan^2 (a y)) d y = int (tan^2 (a y) sec^2 (a y) - sec^2 (a y) + 1) d y = int tan^2 (a y) sec^2 (a y) d y - int sec^2 (a y) d y + int 1 d y

Calculando int tan^2 (a y) sec^2 (a y) d y , seja, u = t a n ( a y ) , d u // a = sec^2 ( a y ) d y

int tan^2 (a y) sec^2 (a y) d y = (1)/(a) int u^2 d u = (1)/(3 a) u^3 = (1)/(3 a) tan^3 ( a y )

int tan^4 (a y) d y = int tan^2 (a y) sec^2 (a y) d y - int sec^2 (a y) d y + int 1 d y = (1)/(3 a) tan^3 (a y) - (1)/(a) tan (a y) + y + c_2

Passo 3

Agora que calculamos cada integral, podemos substituir o resultado de cada uma

int tan^4 (a y) sec^2 (a y) d y - int tan^4 (a y) d y = (1)/(5 a) tan^5 (a y) + c_1 - (1)/(3 a) tan^3 (a y) + (1)/(a) tan (a y) - y - c_2

Se somarmos duas constantes, o resultado será uma nova constante, então podemos substituir todas as constantes por uma constate só, que vou chamar arbritrariamente de k . Então

(1)/(5 a) tan^5 (a y) + c_1 + (1)/(3 a) tan^3 (a y) - (1)/(a) tan (a y) + y + c_2 = (1)/(5 a) tan^5 (a y) - (1)/(3 a) tan^3 (a y) + (1)/(a) tan (a y) - y + k

Não se torture pensando “eu nunca conseguiria fazer isso sozinho”, basta praticar e estamos aqui pra ajudar :)

Resposta

int tan^6 ( a y ) d y = (1)/(5 a) tan^5 (a y) - (1)/(3 a) tan^3 (a y) + (1)/(a) tan (a y) - y + k

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