Calcule a integral:

∫ 0 π 6 sec 3 ⁡ 2 θ t g   2 θ d θ

Passo 1

Precisamos calcular essa integral aí.

Primeiro a gente precisa deixar esse argumento das funções sendo uma variável sozinha, para usar nossa técnicas. Vamos fazer isso usando a substituição:

u = 2 θ ∴ d u d θ = 2 ∴ d u 2 = d θ

Nossa integral fica:

1 2 ∫ sec 3 ⁡ u t g   u   d u

Passo 2

Vamos refletir um pouco agora, temos tangente e secante na integral, mas a tangente está com expoente 1 e a secante está com um expoente diferente de 1. A gente sabe que:

sec ⁡ u ' = t g   u sec ⁡ u

Então, é bom a gente tentar fazer aparecer esse produto t g   x sec ⁡ x , e deixar o resto da integral em secante, porque aí dá para usar uma substituição bonitinha. Como vamos fazer isso?

A gente pode reescrever a integral:

1 2 ∫ sec 3 ⁡ u t g   u   d u = 1 2 ∫ sec 2 ⁡ u   ( sec ⁡ u   t g   u ) d u

Aí, conseguimos!

Passo 3

Agora é o momento de fazer a substituição bonitinha:

t = sec ⁡ u ∴ d t = sec ⁡ u t g   u   d x

1 2 ∫ t 2 d t = 1 6 t 3

Lembrando que:

t = sec ⁡ u ,   u = 2 θ ∴ t = sec ⁡ 2 θ

Voltando para θ :

∫ sec 3 ⁡ 2 θ t g   2 θ d θ = 1 6 sec 3 ⁡ 2 θ

Passo 4

Mas a nossa integral é definida, então precisamos fazer mais umas continhas ainda:

∫ 0 π 6 sec 3 ⁡ 2 θ t g   2 θ d θ = 1 6 sec 3 ⁡ 2 θ ​ 0 π 6 = 8 6 - 1 6 = 7 6

Resposta

∫ 0 π 6 sec 3 ⁡ 2 θ t g   2 θ d θ = 7 6

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