Calcule a integral indefinda

∫ x d x x 2 + x + 1

Passo 1

∫ x d x x 2 + x + 1

Quando temos um polinômio com só um grau menor em cima, a ideia é tentarmos fazer uma substituição chamando o denominador de a .Vamos ver como ficaria isso

x 2 + x + 1 = y → 2 x + 1 d x = d y

Mas nosso numerador é x e não 2 x + 1 , amos reescrevê-lo da seguinte forma:

x = 1 2 2 x + 1 - 1

Repara que não mudamos, mas substituindo na integra, vamos ter:

∫ x d x x 2 + x + 1 = ∫ 1 2 2 x + 1 - 1 d x x 2 + x + 1 = 1 2 ∫ 2 x + 1 - 1 d x x 2 + x + 1

1 2 ∫ 2 x + 1 - 1 d x x 2 + x + 1 = 1 2 ∫ 2 x + 1 d x x 2 + x + 1 - ∫ 1 d x x 2 + x + 1

A primeira interal resolvemos direito com substituição simples, a segunda é aauqele que temos que tentar achar a integral da trigonométrica inversa.

Passo 2

Vamos começar com:

∫ 2 x + 1 d x x 2 + x + 1

Vamos fazer

x 2 + x + 1 = a → 2 x + 1 d x = d a

A integral vai ficar:

∫ 2 x + 1 d x x 2 + x + 1 = ∫ d a a

Essa integral, em a , é a do ln ⁡  

∫ d a a = ln ⁡ a + C

Voltando para x

ln ⁡ x 2 + x + 1 + C

Passo 3

Agora

∫ 1 d x x 2 + x + 1

Temos um polinômio doidão ali no denominador, a boa aqui é tentar achar algo da forma

a 2 + 1

Mas como vamos fazer isso? COmpeltando quadrados, claro quem nunca pensou nisso? Hahahah

Vou te mostrar com bastante calma como faz isso:

x 2 + x + 1

Primeiro, vamos olhar so p x 2 + x , ele deve ficar parecido com a 2 + 2 a b + b 2 .

a 2 + 2 a b + b 2 = a + b 2

x 2 + x

Comaprando, teremos

a = x

b = 1 2

Agora, temos que somar e subtrair b 2 que achamos da equação original

x 2 + x + 1 + 1 2 2 - 1 2 2

Organizando

x 2 + x + 1 4 + 1 - 1 4 = x 2 + x + 1 4 + 3 4 = x + 1 2 2 + 3 4

Estamos quaaaase com o a 2 + 1 , para isso vamos colocar o 7 4 em evidência:

x + 1 2 2 + 3 4 = 3 4 x + 1 2 2 3 4   + 1 = 3 4 4 3 x + 1 2 2   + 1

A nossa integral fica:

∫ x d x x 2 + x + 1 = ∫ x d x 3 4 4 3 x + 1 2 2   + 1 = 4 3 ∫ x d x 4 3 x + 1 2 2   + 1

Passo 4

Com aquela integral:

4 3 ∫ x d x 4 3 x + 1 2 2   + 1

Como temos um a 2 + 1 no denominador e a no numerador, aqui vamos só chamar o denominador

Vamos fazer a substituição

4 3 x + 1 2 2 = a 2

a = 4 3 x + 1 2 → d a = 4 3 d x → d x = 3 4 d a

Além disso:

A nossa integral em a vai ser:

4 3 ∫ d x 4 3 x + 1 2 2   + 1 = 4 3 ∫ 3 4 d a a 2   + 1 = 4 3 3 4 ∫ d a a 2   + 1

Essa integral em a é a tg - 1 ⁡ a , então teremos:

4 3 3 4 ∫ d a a 2   + 1 = 4 3 3 4 tg - 1 ⁡ a + C

Voltando para x :

4 3 3 4 tg - 1 ⁡ a + C = 4 3 3 4 tg - 1 ⁡ 4 3 x + 1 2 + C

Passo 5

Juntando tudo que achamos, vamos ter:

1 2 ∫ 2 x + 1 - 1 d x x 2 + x + 1 = 1 2 ln ⁡ x 2 + x + 1 - 4 3 3 4 tg - 1 ⁡ 4 3 x + 1 2 + C

Podemos colocar a constante já do lado de fora dessa contarada toda, afinal vai acabar tudo se juntando em uma só.

Resposta

1 2 ln ⁡ x 2 + x + 1 - 4 3 3 4 tg - 1 ⁡ 4 3 x + 1 2 + C

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