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Enunciado

Cálculo - Anton - Cálculo - Vol 1- Ed: 10º - Capítulo 7.6 - Ex. 25

  1. Faça a substituição u indicada e, então, use a Tabela de Integrais para calcular a integral. (b) Se o leitor dispuser de um CAS, use-o para calcular a integral e, então, prove que o resultado é equivalente ao encontro em (a).

∫ e 4 x 4 - 3 e 2 x 2 d x             ,   u = e 2 x

Passo 1

Para resolver esse exercício, fazermos as substituições com:

u = e 2 x

d u = 2 e 2 x d x

d u 2 u = d x

Então, podemos dizer que:

∫ e 4 x 4 - 3 e 2 x 2 d x = ∫ ( e 2 x ) 2 4 - 3 e 2 x 2 d x

Substituindo u , temos:

∫ e 4 x 4 - 3 e 2 x 2 d x = ∫ u 2 4 - 3 u 2 . d u 2 u

∫ e 4 x 4 - 3 e 2 x 2 d x = 1 2 ∫ u 2 4 - 3 u 2 d u

Resolveremos a integral aplicando na seguinte fórmula:

∫ u a + b u 2 d u = 1 b 2 a a + b u + ln ⁡ [ a + b u ] + C

Se a = 4 e b = - 3 , substituindo:

∫ e 4 x 4 - 3 e 2 x 2 d x = 1 2 1 ( - 3 ) 2 4 4 - 3 u + ln ⁡ [ 4 - 3 u ] + C

Resolvendo e retirando a constante de dentro dos colchetes:

∫ e 4 x 4 - 3 e 2 x 2 d x = 1 18 4 4 - 3 u + ln ⁡ [ 4 - 3 u ] + C

Substituindo   u = e 2 x :

∫ e 4 x 4 - 3 e 2 x 2 d x = 1 18 4 4 - 3 e 2 x + ln ⁡ [ 4 - 3 e 2 x ] + C

Resposta

∫ e 4 x 4 - 3 e 2 x 2 d x = 1 18 4 4 - 3 e 2 x + ln ⁡ [ 4 - 3 e 2 x ] + C

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