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Enunciado

Cálculo - Anton - Cálculo - Vol 1- Ed: 10º - Capítulo 7.3 - Ex. 44

Calcule a integral:

int t g x sec^((3)/(2)) x d x

Passo 1

Precisamos calcular essa integral aí.

Vamos refletir um pouco, temos tangente e secante na integral, mas a tangente está com expoente 1 e a secante está com um expoente estranho. A gente sabe que:

(sec x)^' = t g x sec x

Então, é bom a gente tentar fazer aparecer esse produto t g x sec x , e deixar o resto da integral em secante, porque aí dá para usar uma substituição bonitinha. Como vamos fazer isso?

A gente pode reescrever a integral:

int t g x sec^((3)/(2)) x d x = int sec^((1)/(2)) x ( sec x t g x ) d x

Aí, conseguimos!

Passo 2

Agora é o momento de fazer a substituição bonitinha:

u = sec x :. d u = sec x t g x d x

int (u)^((1)/(2)) d u = (2)/(3) u^((3)/(2))

Voltando para x :

int t g x sec^((3)/(2)) x d x = (2)/(3) (sec x)^((3)/(2))

E não podemos esquecer da constante de integração:

int t g x sec^((3)/(2)) x d x = (2)/(3) (sec x)^((3)/(2)) + C

Resposta

int t g x sec^((3)/(2)) x d x = (2)/(3) (sec x)^((3)/(2)) + C

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