Calcule a integral:

∫ t g   x sec 3 2 ⁡ x d x

Passo 1

Precisamos calcular essa integral aí.

Vamos refletir um pouco, temos tangente e secante na integral, mas a tangente está com expoente 1 e a secante está com um expoente estranho. A gente sabe que:

sec ⁡ x ' = t g   x sec ⁡ x

Então, é bom a gente tentar fazer aparecer esse produto t g   x sec ⁡ x , e deixar o resto da integral em secante, porque aí dá para usar uma substituição bonitinha. Como vamos fazer isso?

A gente pode reescrever a integral:

∫ t g   x sec 3 2 ⁡ x d x = ∫ sec 1 2 ⁡ x ( sec ⁡ x   t g   x ) d x

Aí, conseguimos!

Passo 2

Agora é o momento de fazer a substituição bonitinha:

u = sec ⁡ x ∴ d u = sec ⁡ x t g   x   d x

∫ u 1 2 d u = 2 3 u 3 2

Voltando para x :

∫ t g   x sec 3 2 ⁡ x d x = 2 3 sec ⁡ x 3 2

E não podemos esquecer da constante de integração:

∫ t g   x sec 3 2 ⁡ x d x = 2 3 sec ⁡ x 3 2 + C

Resposta

∫ t g   x sec 3 2 ⁡ x d x = 2 3 sec ⁡ x 3 2 + C

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