Calcule a integral:

∫ sec 4 ⁡ x d x

Passo 1

Precisamos calcular essa integral aí. Temos duas ferramentas: as fórmulas de redução:

∫ t g n x d x = t g n - 1 x n - 1 - ∫ t g n - 2 x d x

∫ sec n ⁡ x d x = sec n - 2 ⁡ x   t g   x n - 1 + n - 2 n - 1 ∫ sec n - 2 ⁡ x d x

E as identidades trigonométricas. Vamos começar!

Passo 2

Podemos usar a fórmula de redução para reduzir o expoente da secante:

∫ sec n ⁡ x d x = sec n - 2 ⁡ x   t g   x n - 1 + n - 2 n - 1 ∫ sec n - 2 ⁡ x d x

∫ sec 4 ⁡ x d x = sec 2 ⁡ x   t g   x 3 + 2 3   ∫ sec 2 ⁡ x d x

Passo 3

Quase acabando, a gente só precisa lembrar que:

∫ sec 2 ⁡ x d x = t g   x

Substituindo isso na nossa integral:

∫ sec 4 ⁡ x d x = sec 2 ⁡ x   t g   x 3 + 2 3 t g   x

E a gente pode lembrar que:

sec 2 ⁡ x = 1 + t g 2   x

Susbtituindo no nosso resultado final, para ele ficar bonitinho:

∫ sec 4 ⁡ x d x = 1 + t g 2 x   t g   x 3 + 2 3 t g   x

= t g   x + t g 3 x 3

Mas é uma integral indefinida, então não podemos esquecer da constante de integração:

∫ sec 4 ⁡ x d x = t g   x + t g 3 x 3 + C

Resposta

∫ sec 4 ⁡ x d x = t g   x + t g 3 x 3 + C

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados