Calcule a integral:

int sec^4 x d x

Passo 1

Precisamos calcular essa integral aí. Temos duas ferramentas: as fórmulas de redução:

int t g^n x d x = (t g^(n - 1) x)/(n - 1) - int t g^(n - 2) x d x

int sec^n x d x = (sec^(n - 2) x t g x)/(n - 1) + (n - 2)/(n - 1) int sec^(n - 2) x d x

E as identidades trigonométricas. Vamos começar!

Passo 2

Podemos usar a fórmula de redução para reduzir o expoente da secante:

int sec^n x d x = (sec^(n - 2) x t g x)/(n - 1) + (n - 2)/(n - 1) int sec^(n - 2) x d x

int sec^4 x d x = (sec^2 x t g x)/(3) + (2)/(3) int sec^2 x d x

Passo 3

Quase acabando, a gente só precisa lembrar que:

int sec^2 x d x = t g x

Substituindo isso na nossa integral:

int sec^4 x d x = (sec^2 x t g x)/(3) + (2)/(3) (t g x)

E a gente pode lembrar que:

sec^2 x = 1 + t g^2 x

Susbtituindo no nosso resultado final, para ele ficar bonitinho:

int sec^4 x d x = ((1 + t g^2 x) t g x)/(3) + (2)/(3) (t g x)

= t g x + (t g^3 x)/(3)

Mas é uma integral indefinida, então não podemos esquecer da constante de integração:

int sec^4 x d x = t g x + (t g^3 x)/(3) + C

Resposta

int sec^4 x d x = t g x + (t g^3 x)/(3) + C

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