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Enunciado

Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 8.3 - Ex. 43

Na seção 3.10, estabelecemos que uma partícula movendo-se numa reta terá um movimento harmônico simples se a medida de sua aceleração for sempre proporcional à medida de seu deslocamento a partir de um ponto fixo sobre a reta e se sua aceleração e deslocamento tiverem sempre sentidos opostos. Logo, se em t s a distância orientada da partícula até a origem for s cm e v cm/s for a velocidade da partícula, então uma equação diferencial para o movimento harmônico simples será

d v d t = - k 2 s             ( 7 )

Onde k² é a constante de proporcionalidade e o sinal menos indica que a aceleração tem sentido oposto ao deslocamento. Como

d v d t = d v d s . d s d t

Segue que

d v d t = v . d v d s

Assim sendo, podemos reescrever (7) como

v . d v d s = = - k 2 s             ( 8 )

  1. Resolva (8) para v, obtendo v = ± k a ² - s ² . Nota: tome a ² k ² como constante de integração que é arbitrária, e justifique essa escolha.
  2. Tomando v = d s d t na solução da parte (a), obtemos a equação diferencial

    3. d s d t = ± k a ² - s ²             ( 9 )

    Tomando t = 0 no instante em que v = 0 (e portanto s = a ), resolva (9) para obter

    s = a cos ⁡ k t                       ( 10 )

  3. Mostre que o maior valor de |s| é a. O numero a é chamado de amplitude do movimento.
  4. A partícula irá oscilar entre os pontos onde s = a e s = - a . Se T s for o tempo necessário para a partícula ir de a ate - a e voltar, mostre que T = 2 π k . O número T é chamado de período do movimento.

Passo 1

Na letra a, para resolver a equação 8 nós devemos primeiro integrá-la:

∫ v . d v = ∫ - k 2 s . d s  

v 2 2 = - k 2 s 2 2  

v 2 = - k 2 s 2 + C

v = ± C - k 2 s 2

Se a constante C for negativa não vai existir valor real para a velocidade. Se C for igual a 0, a única solução possível é v = s = 0 e neste caso a partícula está parada. Sendo assim, vamos assumir que C deva ser positiva:

C = k ² a ²

Substituindo:

v = ± k ² a ² - k 2 s 2

v = ± k a ² - s 2

Passo 2

Na letra b, sabendo que v = d s d t a equação da letra a assume a seguinte forma:

d s d t = ± k a ² - s 2

Para resolver a equação devemos integrá-la:

d s a ² - s 2 = ± k . d t

∫ d s a ² - s 2 = ± k . ∫ d t

Pelo Teorema 8.3.2:

s e n - 1 s a = ± k t + C

Lembrando que:

s e n - 1 s a = - cos - 1 ⁡ s a

- cos - 1 ⁡ s a = ± k t + C

No instante em que t = 0   e   s = a :

- cos - 1 ⁡ a a = ± k . 0 + C

C = - cos - 1 ⁡ 1

C = 0

Resolvendo a equação com C = 0 :

- cos - 1 ⁡ s a = ± k t

cos - 1 ⁡ s a = ∓ k t

Lembrando da Definição 8.1.2:

s a = cos ⁡   ( ∓ k t )

Como

cos ⁡ ( - k t ) = cos ⁡ ( k t )

Então:

s a = cos ⁡ ( k t )

s = a cos ⁡   ( k t )

Passo 3

Na letra c, devemos mostrar o valor máximo de |s|. Usando a equação anterior, o valor máximo que a função cosseno pode alcançar é 1:

cos ⁡   ( k t ) ≤ 1

Então o maior valor:

| s | = | a . 1 |

| s | = | a |

Assumindo que o valor de a > 0 :

| s | = a

Passo 4

Na letra d, vamos começar substituindo s = a na equação da distância obtida na letra b e chamando o valor de t neste ponto de t 1

a = a cos ⁡   ( k t 1 )

cos ⁡   ( k t 1 ) = 1

Pela Definição 8.1.2

k t 1 = cos - 1 ⁡ 1

t 1 = 0

A partícula sai de t 1 = 0 e vai para o ponto s = - a gastando t 2 :

- a = a cos ⁡   ( k t 2 )

cos ⁡   ( k t 2 ) = - 1

k t 2 = cos - 1 ⁡ - 1

t 2 = π k

Como a partícula sai de s = a e segue para s = - a gastando t 2 e volta para s = a , gastando mais t 2 :

T = 2 . t 2

T = 2 π k

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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