Responde Aí
Acesse com GoogleAcesse com AppleAcesse com Facebook

Enunciado

Cálculo - Anton - Cálculo - Vol 1- Ed: 10º - Capítulo 7.3 - Ex. 47

Calcule a integral:

int_0^((pi)/(2)) t g^5 ((x)/(2)) d x

Passo 1

Precisamos calcular essa integral aí. Temos duas ferramentas: as fórmulas de redução:

int t g^n x d x = (t g^(n - 1) x)/(n - 1) - int t g^(n - 2) x d x

int sec^n x d x = (sec^(n - 2) x t g x)/(n - 1) + (n - 2)/(n - 1) int sec^(n - 2) x d x

E as identidades trigonométricas. Vamos começar!

Passo 2

Primeiro a gente precisa deixar esse argumento da função sendo uma variável sozinha, para usar nossa técnicas. Vamos fazer isso usando a substituição:

u = (x)/(2) :. (d u)/(d x) = (1)/(2) :. 2 d u = d x

Nossa integral fica:

2 int t g^5 u d u

Passo 3

Podemos usar a fórmula de redução da tangente para reduzir o expoente da tangente:

int t g^n u d u = (t g^(n - 1) u)/(n - 1) - int t g^(n - 2) u d u

2 int t g^5 u d u = 2 ((t g^4 u)/(4) - int t g^3 u d u)

Podemos usar a fórmula de novo e reduzir mais esse expoente aí da integral nova que apareceu:

2 int t g^5 u d u = (t g^4 u)/(2) - 2 ((t g^2 u)/(2) - int t g u d u)

Lembrando que:

int t g u d u = ln | sec u |

Nossa integral fica:

2 int t g^5 u d u = (t g^4 u)/(2) - t g^2 u + 2 ln | sec u |

Passo 4

Precisamos agora voltar a variável x :

u = (x)/(2)

int t g^5 ((x)/(2)) d x = (t g^4 ((x)/(2)))/(2) - t g^2 ((x)/(2)) + 2 ln |sec ((x)/(2))|

Mas a nossa integral é definida, então precisamos fazer mais umas continhas ainda:

int_0^((pi)/(2)) t g^5 ((x)/(2)) d x = (t g^4 ((x)/(2)))/(2) - t g^2 ((x)/(2)) + 2 ln |sec ((x)/(2))| (​|_0^((pi)/(2))

int_0^((pi)/(2)) t g^5 ((x)/(2)) d x = (1)/(2) - 1 + 2 ln |((2)/(sqrt(2)))|

Podemos jogar esse dois para dentro do log como um expoente:

int_0^((pi)/(2)) t g^5 ((x)/(2)) d x = (1)/(2) - 1 + 2 ln |2| = - (1)/(2) + ln | 2 |

Resposta

int_0^((pi)/(2)) t g^5 ((x)/(2)) d x = - (1)/(2) + ln | 2 |

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Nos Exercícios de 34 a 43, calcule a integral indefinida: 3 7 ) ∫ s e n hx x d x
Nos Exercícios de 34 a 43, calcule a integral indefinida: 3 5 ) ∫ e t cosh ⁡ e t . s en h ⁡ e t d t
Prove:(a) int t g h u . d u = ln | cosh u | + c
Prove:int c o s e c h u . d u = ln | t g h (u)/(2) | + c
Nos Exercícios de 34 a 43, calcule a integral indefinida: 34 ) ∫ s e n h 4x . cosh ⁡ x d x