Calcule a integral:

∫ 0 π 2 t g 5 x 2 d x

Passo 1

Precisamos calcular essa integral aí. Temos duas ferramentas: as fórmulas de redução:

∫ t g n x d x = t g n - 1 x n - 1 - ∫ t g n - 2 x d x

∫ sec n ⁡ x d x = sec n - 2 ⁡ x   t g   x n - 1 + n - 2 n - 1 ∫ sec n - 2 ⁡ x d x

E as identidades trigonométricas. Vamos começar!

Passo 2

Primeiro a gente precisa deixar esse argumento da função sendo uma variável sozinha, para usar nossa técnicas. Vamos fazer isso usando a substituição:

u = x 2 ∴ d u d x = 1 2 ∴ 2 d u = d x

Nossa integral fica:

2 ∫ t g 5   u   d u

Passo 3

Podemos usar a fórmula de redução da tangente para reduzir o expoente da tangente:

∫ t g n u d u = t g n - 1 u n - 1 - ∫ t g n - 2 u d u

2 ∫ t g 5   u   d u = 2 t g 4 u 4 - ∫ t g 3 u d u

Podemos usar a fórmula de novo e reduzir mais esse expoente aí da integral nova que apareceu:

2 ∫ t g 5   u   d u = t g 4 u 2 - 2 t g 2 u 2 - ∫ t g   u d u  

Lembrando que:

∫ t g   u d u = ln ⁡ | sec ⁡ u |

Nossa integral fica:

2 ∫ t g 5   u   d u = t g 4 u 2 - t g 2 u + 2 ln ⁡ | sec ⁡ u |

Passo 4

Precisamos agora voltar a variável x :

u = x 2

∫ t g 5 x 2 d x = t g 4 x 2 2 - t g 2 x 2 + 2 ln ⁡ sec ⁡ x 2

Mas a nossa integral é definida, então precisamos fazer mais umas continhas ainda:

∫ 0 π 2 t g 5 x 2 d x = t g 4 x 2 2 - t g 2 x 2 + 2 ln ⁡ sec ⁡ x 2 ​ 0 π 2

∫ 0 π 2 t g 5 x 2 d x = 1 2 - 1 + 2 ln ⁡ 2 2

Podemos jogar esse dois para dentro do log como um expoente:

∫ 0 π 2 t g 5 x 2 d x = 1 2 - 1 + 2 ln ⁡ 2 = - 1 2 + ln ⁡ | 2 |

Resposta

∫ 0 π 2 t g 5 x 2 d x = - 1 2 + ln ⁡ | 2 |

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