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Enunciado

Cálculo - Anton - Cálculo - Vol 1- Ed: 10º - Capítulo 7.3 - Ex. 41

Calcule a integral:

int tg^3 4 x d x

Passo 1

Precisamos calcular essa integral aí. Temos duas ferramentas: as fórmulas de redução:

int t g^n x d x = (t g^(n - 1) x)/(n - 1) - int t g^(n - 2) x d x

int sec^n x d x = (sec^(n - 2) x t g x)/(n - 1) + (n - 2)/(n - 1) int sec^(n - 2) x d x

E as identidades trigonométricas. Vamos começar!

Passo 2

Primeiro a gente precisa deixar esse argumento da função tangente sendo uma variável sozinha, para usar nossa técnicas. Vamos fazer isso usando a substituição:

u = 4 x :. (d u)/(d x) = 4 :. (d u)/(4) = d x

Nossa integral fica:

(1)/(4) int t g^3 u d u

Passo 3

Podemos reduzir essa outra integral que apareceu, pela fórmulinha de redução:

int t g^n x d x = (t g^(n - 1) x)/(n - 1) - int t g^(n - 2) x d x

(1)/(4) int t g^3 u d u = (t g^2 u)/(8) - (1)/(4) int t g u d u

Passo 4

Agora só lembrar que:

int t g u d x = ln |sec u| = ln |(1)/(cos u)| = ln | cos^(- 1) u |

Mas pela propriedade do log:

= ln | cos^(- 1) u | = - ln | cos u |

Substituindo isso na nossa continha:

(1)/(4) int t g^3 u d u = (t g^2 u)/(8) + (1)/(4) ln |cos u|

Mas lembra que u = 4 x :

int t g^3 4 x d x = (1)/(4) int t g^3 u d u = (t g^2 4 x)/(8) + (1)/(4) ln | cos 4 x |

E não podemos esquecer da constante de integração:

int t g^3 4 x d x = (t g^2 4 x)/(8) + (1)/(4) ln | cos 4 x | + C

Resposta

int t g^3 4 x d x = (t g^2 4 x)/(8) + (1)/(4) ln | cos 4 x | + C

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