Calcule a integral

34. ∫ tan 5 ⁡ θ sec ⁡ θ d θ

Passo 1

Aqui, a estratégia vai ser usar a seguinte propriedade trigonométrica:

tan 2 ⁡ u = sec 2 ⁡ u - 1

Nisso, reescrevemos nossa integral da seguinte forma:

∫ tan 5 ⁡ θ sec ⁡ θ d θ = ∫ tan 4 ⁡ θ sec ⁡ θ tan ⁡ θ d θ

E agora aplicamos a propriedade:

∫ tan 4 ⁡ θ sec ⁡ θ tan ⁡ θ d θ = ∫ sec 2 ⁡ θ - 1 2 sec ⁡ θ tan ⁡ θ d θ

Passo 2

Tendo a integral escrita dessa forma, podemos aplicar uma substituição simples. Teremos:

u = sec ⁡ θ e d u = sec ⁡ θ tan ⁡ θ d θ

Agora, aplicamos na integral a substituição e vamos ter:

∫ sec 2 ⁡ θ - 1 2 sec ⁡ θ tan ⁡ θ d θ = ∫ u 2 - 1 2 d u

Abrimos o produto notável:

∫ u 4 - 2 u 2 + 1 d u

Passo 3

Separamos isso em 3 integrais:

∫ u 4 - 2 u 2 + 1 d u = ∫ u 4 d u + 2 ∫ u 2 d u + ∫ d u

Resolvemos elas na ordem em que aparecem:

∫ u 4 d u = u 5 5 + C

Retornando à variável original:

u 5 5 + C = sec 5 ⁡ θ 5 + C

Passo 4

2 ∫ u 2 d u = 2 u 3 3 + C

Retornando à variável original:

2 u 3 3 + C = 2 sec 3 ⁡ θ 3 + C

Passo 5

∫ d u = u + C

Retornando à variável original:

u + C = sec ⁡ x + C

Passo 6

Tendo os resultados das integrais, somamos eles e temos a resposta final:

∫ u 4 d u + 2 ∫ u 2 d u + ∫ d u = sec 5 ⁡ θ 5 + 2 sec 3 ⁡ θ 3 + sec ⁡ θ + C

Resposta

∫ tan 5 ⁡ θ sec ⁡ θ d θ = sec 5 ⁡ θ 5 + 2 sec 3 ⁡ θ 3 + sec ⁡ θ + C

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