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Enunciado

Cálculo - Anton - Cálculo - Vol 1- Ed: 10º - Capítulo 7.3 - Ex. 34

Calcule a integral

34. int tan^5 theta sec theta d theta

Passo 1

Aqui, a estratégia vai ser usar a seguinte propriedade trigonométrica:

tan^2 u = sec^2 u - 1

Nisso, reescrevemos nossa integral da seguinte forma:

int tan^5 theta sec theta d theta = int tan^4 theta sec theta tan theta d theta

E agora aplicamos a propriedade:

int tan^4 theta sec theta tan theta d theta = int (sec^2 theta - 1)^2 sec theta tan theta d theta

Passo 2

Tendo a integral escrita dessa forma, podemos aplicar uma substituição simples. Teremos:

u = sec theta e d u = sec theta tan theta d theta

Agora, aplicamos na integral a substituição e vamos ter:

int (sec^2 theta - 1)^2 sec theta tan theta d theta = int (u^2 - 1)^2 d u

Abrimos o produto notável:

int (u^4 - 2 u^2 + 1) d u

Passo 3

Separamos isso em 3 integrais:

int (u^4 - 2 u^2 + 1) d u = int u^4 d u + 2 int u^2 d u + int d u

Resolvemos elas na ordem em que aparecem:

int u^4 d u = (u^5)/(5) + C

Retornando à variável original:

(u^5)/(5) + C = (sec^5 theta)/(5) + C

Passo 4

2 int u^2 d u = (2 u^3)/(3) + C

Retornando à variável original:

(2 u^3)/(3) + C = (2 sec^3 theta)/(3) + C

Passo 5

int d u = u + C

Retornando à variável original:

u + C = sec x + C

Passo 6

Tendo os resultados das integrais, somamos eles e temos a resposta final:

int u^4 d u + 2 int u^2 d u + int d u = (sec^5 theta)/(5) + (2 sec^3 theta)/(3) + sec theta + C

Resposta

int tan^5 theta sec theta d theta = (sec^5 theta)/(5) + (2 sec^3 theta)/(3) + sec theta + C

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